Bạn ơi, bài này sai đề r, phải là gọi H,K lần lượt lầ hc của I trên AB,BC!
\(\widehat A = 120^\circ \)nên \(\widehat {DAE} = 60^\circ \)(AD là phân giác của góc A).
Ta có: DE // AB nên \(\widehat {CED} = \widehat {EAB} = 120^\circ \)(hai góc đồng vị). Ba điểm A, E, C thẳng hàng nên góc AEC bằng 180°
\(\Rightarrow \widehat {AED} = 180^\circ - \widehat {CED} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Tam giác ADE có \(\widehat {EAD} = \widehat {ADE}\) (\(=60^0\)) nên là tam giác cân.
Mà \(\widehat {DEA} = 60^\circ \)
Do đó, tam giác ADE đều ( tam giác cân có 1 góc bằng \(60^0\)).
bạn tự vẽ hình nha
trên tia đối cũa tia ad ,,vẽ tia at,trên tia at vẽ điểm n sao cho an =ak
bad =cad =120 độ chia 2 = 60 độ
suy ra góc bad =cad= nai = 6o độ (2 góc đối đỉnh)
góc bac +cai =180 độ mà bac =120 độ nên cai = 60 độ
nên góc nai bằng kai
cmd tam giac nai =kai (c.g.c) nên góc ani=aki = 90 độ và in=ik (2ctu)
cmd tam giac dni=dei (ch.gn)suy ra in =ie
từ 2 điều trên suy ra ik =ie
A. Ta có: $\angle BAD=\angle CAD$ $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle CAD =$ $\angle ACD$ Vậy $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ trong tam giác $ABC$ Do đó ta có $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (định lí phân giác) Mà $\angle A=\angle AHD$ (Do $H$ thuộc đường thẳng $AC$ là đường cao của tam giác $ABD$) $\angle HDA=180^{\circ}-\angle BDA=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}=\angle C$ Vậy $\frac{HD}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ Vậy $HD=BD$ và $\angle B=60^{\circ}=\angle HAD$ Do đó $\triangle AHD \cong \triangle ABD$ Vậy $\triangle ABC \cong \triangle AHD$ B. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Lại có $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ Do đó, ta có: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DA}$ Vậy $DC=DA$, vậy $AD$ là đường trung trực của $BH$ C. Ta có $\angle AHD = \angle B = 60^{\circ}=\angle HAC$, vậy $\triangle AHD \sim \triangle ACH$ Do đó $\dfrac{HA}{HD}= \dfrac{HC}{HA}$ Vậy $HA=HC$ D. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Do đó tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có $DC>AB$ (Bất đẳng thức tam giác) E. Gọi $E$ là trung điểm của $CS$ thì ta có $CE=\frac{1}{2}CS$ Mà $\angle ACB=\angle AHB=90^{\circ}$, do đó $AH//CB$, ta có $\triangle AHB \sim \triangle ACB$ Vậy $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{BC}$ Do đó $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$ Vì $HEBC$ là hình bình hành nên ta có $BC=HE$ Vậy $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HE}{AC}$ Lại có $\triangle HSD \sim \triangle AHC$ Vậy $\dfrac{HS}{AC}=\dfrac{HD}{AH}$ Do đó $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{HD+DE}{AC}=\dfrac{HD}{AC}+\dfrac{DE}{AC}$ Vì $HA=HC$ nên ta có $HD=\frac{1}{2}AC$ Vậy $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}$ Mà $HE=\frac{1}{2}CS=\frac{1}{4}AB$ nên $\dfrac{HE}{AB}=\dfrac{1}{4}$ Do đó $\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{4}$ Vậy $\dfrac{DE}{AC}=-\dfrac{1}{4}$ Ta có $\triangle BDS \sim \triangle ACS$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}$ Mà $\angle B =\angle HAD=60^{\circ} =\angle SDC$ Nên tam giác $SDC$ cũng là tam giác đều với $SD=DC$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}=\dfrac{1}{2}$ Do đó $DE=\frac{-1}{4}AC$, suy ra $DE$ song song với $AC$ Lại có $\angle AHB=90^{\circ}$ nên $BH$ vuông góc với $AC$ Do đó $AD$ là đường trung trực của $BH$ nên $DE$ cũng là đường trung trực của $BH$ Vậy ta được $A,D,E$ thẳng hàng Chúc bạn học tốt!
Kẻ ��⊥��IE⊥AD (với �∈��E∈AD).
Gọi ��Ax là tia đối của tia ��AB.
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^ADC nên ��=��IK=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (4)
Từ (3) và (4)(4) suy ra ��=��IH=I
Đúng(0)
Kẻ ��⊥��IE⊥AD (với �∈��E∈AD).
Gọi ��Ax là tia đối của tia ��AB.
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^
Kẻ ��⊥��IE⊥AD (với �∈��E∈AD).
Gọi ��Ax là tia đối của tia ��AB.
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^
Kẻ ��⊥��IE⊥AD (với �∈��E∈AD).
Gọi ��Ax là tia đối của tia ��AB.
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^
Đúng(0)
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^ADC nên ��=��IK=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (4)
Từ (3) và (4)(4) suy ra ��=��IH=I
Đúng(0)
Kẻ ��⊥��IE⊥AD (với �∈��E∈AD).
Gọi ��Ax là tia đối của tia ��AB.
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^
Vì 𝐵𝐴𝐶^BAC và 𝐶𝐴𝑥^CAx là hai góc kề bù mà 𝐵𝐴𝐶^=120∘BAC=120∘ nên 𝐶𝐴𝑥^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có 𝐴𝐷AD là phân giác của 𝐵𝐴𝐶^⇒𝐷𝐴𝐶^=12𝐵𝐴𝐶^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra 𝐴𝐶AC là tia phân giác của 𝐷𝐴𝑥^DAx
⇒𝐼𝐻=𝐼𝐸⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì 𝐷𝐼DI là phân giác của 𝐴𝐷𝐶^ADC nên 𝐼𝐾=𝐼𝐸IK=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (4)
Từ (3) và (4)(4) suy ra 𝐼𝐻=𝐼𝐾IH=IK.
Ta có: ∠A = 120° AD là phân giác ⇒ \angle BAD = \angle CAD = 60^\circ Xét tam giác ADC: Vì nên trong tam giác ADC ta có: \angle ADC = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ ⇒ Tam giác ADC có: \angle CAD = \angle ADC = 60^\circ Suy ra tam giác ADC đều. --- Vì DI là phân giác của ∠ADC (60°) nên trong tam giác đều ADC: DI đồng thời là: đường trung tuyến đường cao đường trung trực ⇒ I nằm trên đường trung trực của AC ⇒ IA = IC --- Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC. Ta có tính chất: Điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Ở đây: I thuộc phân giác góc A ⇒ IH = khoảng cách từ I đến AB IK = khoảng cách từ I đến AC Mà I nằm trên phân giác ⇒ IH = IK Điều phải chứng minh.
1
2
Xét ∆abc
Có ab=ac(gt)
Ci cắt ad(gt)
Ad(chung)
Vậy ih=ik
AB=AD
BC=BD
IH=IK
Tam giác ABC có A= 120 °
DT là tia phân giác của ADC(I€AC )
IH vuông góc AB tại H,IK vuông góc BC tại K
Chứng minh: IH =IK
I thuộc tia phân giác của ADC
IH AB và IK BC nên IH =IK
IH=IK
Ta có:
- góc BAD= góc DAC= 120/2=60 ( AD là tia phân giác)
- kẻ tia đối Ax của AB : suy ra góc xAC =180°-120°=60°
-Suy ra góc xAC= góc CAD = 60° vậy AC là tia phân giác ngoài tại A của ∆ABD
Xét ∆ ABD có I là giao điểm của hai tia phân giác ngoài ( tại A và D)
Suy ra Ở thuộc tia phân giác của góc ABD( hay góc ABC)
Vì I thuộc tia phân giác góc ABC nên I cách đều 2 cạnh AB và BC
Mà IH vuông góc AB, IK vuông góc BC
Suy ra IH= IK
nếu gọi ET là tia phân giác của ADC thì góc tạo bởi hai tia phân giác của A và ADC phụ thuộc vào các góc B,C
Vì góc BAC=120° nên góc ngoài tại đỉnh A của ∆ ABD bằng 60°. Mà góc DAC= 1/2 góc BAC =60°, nên AC là tia phân giác ngoài tại đỉnh A của ∆ ABD.
I là giao điểm của tia phân giác ngoài tại D(DI) và tia phân giác ngoài tại A(AC) của ∆ ABD.
suy ra I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc B của ∆ ABD . Theo tính chất tâm đường tròn bàng tiếp, I cách đều hai đường thẳng AB và BC .
Suy ra IH = IK.
Ta chứng minh ngắn gọn như sau: ∠A = 120° ⇒ tia phân giác AD ⇒ ∠BAD = ∠DAC = 60°. Xét tam giác ADC: AI là tia phân giác ⇒ ∠ADI = ∠IDC. → Suy ra I nằm trên phân giác của ∠ADC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I lên AB, BC ⇒ IH ⟂ AB, IK ⟂ BC. Xét góc tạo bởi AB và BC: ∠ABC + ∠ACB = 60° (vì ∠A = 120°) Do AD là phân giác và AI tiếp tục chia góc tại D, ta suy ra: I nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi AB và BC. Tính chất: Một điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. ⇒ IH = IK. Kết luận: IH = IK.
- Vì AD𝐴𝐷 là tia phân giác của BAĈ𝐵𝐴𝐶 nên:
- Xét △ABD△𝐴𝐵𝐷, góc DAĈ𝐷𝐴𝐶 là góc ngoài tại đỉnh A𝐴 của tam giác này vì 𝐵𝐴𝐷 +𝐷𝐴𝐶 +góckbùvi 𝐴 không thẳng hàng theo cách thông thường. Tuy nhiên, ta có thể thấy đường thẳng AB𝐴𝐵 kéo dài tạo với AD𝐴𝐷một góc 60∘60∘.
2. Xét tam giác ABD𝐴𝐵𝐷:BAD̂=DAĈ=120∘2=60∘𝐵𝐴𝐷=𝐷𝐴𝐶=120∘2=60∘
- Ta có AI𝐴𝐼 là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A𝐴 của △ABD△𝐴𝐵𝐷 (vì 𝐷𝐴𝐶 =60∘ và góc kề bù với DAB̂𝐷𝐴𝐵 cũng bằng 180∘ −120∘ =60∘).
- Theo đề bài, DI𝐷𝐼 là tia phân giác của ADĈ𝐴𝐷𝐶(đây là góc ngoài tại đỉnh D𝐷 của △ABD△𝐴𝐵𝐷).
- Trong một tam giác, hai tia phân giác của hai góc ngoài và tia phân giác của góc trong không kề nó đồng quy tại một điểm (tâm đường tròn bàng tiếp).
- Suy ra I𝐼 là tâm đường tròn bàng tiếptrong góc B𝐵 của △ABD△𝐴𝐵𝐷.
3. Kết luận:A
Vì \(A D\)
\(\angle B A D = \angle D A C = 60^{\circ} .\)
Xét tam giác \(A D C\)
\(& \angle A D I = \angle I D C . & & (\text{1})\)
Ta xét các góc liên quan:
\(& \angle A B D = 180^{\circ} - \angle B A D - \angle A D B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle A D B . & & (\text{2})\)
\(& \angle A C D = 180^{\circ} - \angle D A C - \angle A D C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle A D C . & & (\text{3})\)
Do \(D I\)
\(& \angle I A B = \angle I B C . & & (\text{4})\)
(Chi tiết có thể đuổi góc trực tiếp hoặc dùng tính chất đối xứng góc quanh phân giác.)
Xét vị trí điểm \(I\)
Từ (4), ta có:
\(\angle I A B = \angle I B C\)
⇒ \(I\)
Kết luận
Vì \(H , K\)
Mà \(I\)
\(\boxed{I H = I K}\)
Vì là tia phân giác của (giả thiết). là điểm nằm trên tia phân giác, và . Theo tính chất tia phân giác: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Suy ra: (1).
Ta có là tia phân giác của , nên: Kẻ tia đối của tia là tia . Ta có và là hai góc kề bù: Xét góc , ta thấy nằm giữa và , đồng thời . Suy ra là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh của . Xét điểm thuộc đường thẳng : nằm trên tia phân giác của góc . (hay ) và . Theo tính chất tia phân giác, ta có: (2).
Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta có: