\(A=\left(x+y+z\right)^3-\left(x+y-z\right)^3-\left(x-y+z\right)^3-\left(-x+y+z\right)^3\)

\(=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)(\(a=-x+y+z,b=x-y+z,c=x+y-z\))

\(=\left(b+c\right)^3+3a\left(a+b+c\right)\left(b+c\right)-\left[\left(b+c\right)^3-3bc\left(b+c\right)\right]\)

\(=3\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)\)

\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(=24xyz\)

1. a) x⁴ - 2x³ + 10x² - 20x = 0

<=> x³(x - 2) + 10x(x - 2) = 0

<=> (x³ + 10x)(x - 2) = 0

<=> x(x² + 10)(x - 2) = 0

<=> x(x - 2) = 0 (Vì x² + 10 > 0)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

Vậy x \(\in\left\{0;2\right\}\)là nghiệm phương trình

b) x²(x - 1) - 4x² + 8x - 4 = 0 

<=> x²(x - 1) - 4(x - 1)² = 0

<=> (x - 1)(x² - 4x + 4) = 0

<=> (x - 1)(x - 2)² = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

Vậy x \(\in\left\{1;2\right\}\)là nghiệm phương trình

c) x³  +2x + 10 + 5x² = 0

<=> x(x² + 2) + 5(x² + 2) = 0

<=> (x + 5)(x² + 2) = 0

<=> x + 5 = 0 (Vì x² + 2 > 0)

<=> x = -5

Vậy x = -5 là nghiệm phương trình 

Bài 1 : bạn tự làm nhé, do mình thấy khá bth chỉ là số mũ to hơn tẹo :vvv 

Bài 2 : 

\(E=x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+3\)

\(2E=2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz+6\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(z^2+2xz+x^2\right)+6\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2+6\ge6>0\)

Vậy E luôn dương với mọi giá trị của biến 

\(1,E=x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+3\ge\sqrt[6]{x^2.y^2.z^2.xy.yz.xz}+3\ge3\)( cauchy)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=0\)

vậy đẳng thức luôn dương

\(2,a.x^4-2x^3+10x^2-20x=0\)

\(x^2\left(x^2+10\right)-2x\left(x^2+10\right)=0\)

\(\left(x^2-2x\right)\left(x^2+10\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x^2-2x=0\\x^2+10=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x\left(x-2\right)=0\\x^2=-10\left(KTM\right)\end{cases}}}\)

\(\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(b,x^2\left(x-1\right)-4x^2+8x-4=0\)

\(x^2\left(x-1\right)-\left(4x^2-8x+4\right)=0\)

\(x^2\left(x-1\right)-\left(2x-2\right)^2=0\)

\(x^2\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)^2=0\)

\(\left(x-1\right)\left(x^2-2x+2\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2-2x+2=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=1\\\left(x-1\right)^2+1=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=1\left(TM\right)\\\left(x-1\right)^2=-1\left(KTM\right)\end{cases}}}}\)

\(c,x^3+2x+10+5x^2=0\)

\(x^2\left(x+5\right)+2\left(x+5\right)=0\)

\(\left(x^2+2\right)\left(x+5\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x^2+2=0\\x+5=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x^2=-2\left(KTM\right)\\x=-5\left(TM\right)\end{cases}}}\)

Ta có: E = x² + y²  + z² + xy + yz + xz + 3 

=> 2E = 2x² + 2y² + 2z²  +2xy + 2yz + 2xz + 6 

2E = (x + y)² + (Y + z)² + (x + z)² + 6 

Do  (x + y)² \(\ge\)0; (y + z)² \(\ge\)0; (z + x)² \(\ge\)0; 6 > 0

=> 2E \(\ge\)6 => E \(\ge\)3 > 0

=> biểu thức E luôn dương với mọi giá trị của biến

ai giúp tớ vs

• Kết luận: \(x = -21\)

A B C H I M N D E

a/

\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}.6.4=12cm^2\)

b/

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC

Từ B dựng đường thẳng vuông góc BC cắt DE tại M

Từ C dựng đường thẳng vuông góc BC cắt DE tại N

Ta có 

DA=DB; EA=EC => DE là đường trung bình của tg ABC => DE//BC => MN//BC

Ta có

\(BM\perp BC;CN\perp BC\)=> BM//CN (cùng vuông góc với BC)

=> BCNM là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hbh)

Mà \(\widehat{DBC}=90^o\)

=> BCNM là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)

Ta có

Gọi I là giao của DE với AH ta có

DE//BC (cmt); \(AH\perp BC\Rightarrow AH\perp DE\)

DE//BC (cmt) \(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}=\frac{AI}{HI}=1\) => I là trung điểm của AH => IA=IH

Ta có

 \(S_{\Delta ABC}=S_{BCED}+S_{\Delta ADI}+S_{AEI}\) (1)

\(S_{BCNM}=S_{BCED}+S_{\Delta BDM}+S_{\Delta CEN}\) (2)

Xét tg vuông ADI và tg vuông BDM có

DA=DB; \(\widehat{ADI}=\widehat{BDM}\) (góc đối đỉnh) => tg ADI = tg BDM (hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) (3)

C/m tương tự ta cũng có tg AEI = tg CEN (4)

Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=S_{BCNM}\)

=> 3 mảnh cắt từ tg ABC là hình thang BCED; tg ADI và tg AEI

Ta có DE là đường trung bình của tg ABC => \(DE=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3cm\)

IA=IH (cmt) => IA=IH=4:2=2 cm

\(S_{BCED}=\frac{\left(BC+DE\right).IH}{2}=\frac{\left(6+3\right).2}{2}=9cm^2\)

\(S_{\Delta ADI}+S_{\Delta AEI}=S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.DE.IA=\frac{1}{2}.3.2=3cm^2\)

Do tg ABC không có thêm điều kiện nào nên không thể tính riêng rẽ diện tích của hai tg ADI và AEI

Gọi \(A H \bot B C\) (\(H \in B C\)), tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).

a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H A C\)

Xét hai tam giác \(A B C\) và \(H A C\):

• \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle H = 90^{\circ}\).
• Vì \(H \in B C\) nên
  \(\angle A C B = \angle H C A .\)

Suy ra hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên

b) Cho \(A B = 6\) cm, \(A C = 8\) cm. Tính \(B C\) và \(A H\)

Tính \(B C\)

Áp dụng định lý Pitago:

Tính \(A H\)

Diện tích tam giác:

Suy ra

Kết quả:

c) Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A C\) tại \(E\). Chứng minh \(H E^{2} = A E \cdot E C\)

Xét tam giác vuông \(A H C\) (vuông tại \(H\)).

Do \(H E \bot A C\), nên \(H E\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(A C\).

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Đpcm.

d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A H\), \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Chứng minh

Chứng minh

Từ câu (c):

Do \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), \(I\) là trung điểm của \(A H\), đường thẳng \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Từ các tam giác đồng dạng tạo bởi đường thẳng \(E I\) (hoặc sử dụng định lý Menelaus kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác vuông), ta có

Thay \(H E^{2} = E A \cdot E C\) vào:

Suy ra

Đpcm.

Kết quả

• a) \(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C}\).
• b) \(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}}\).
• c) \(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C}\).
• d) \(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C}\).