Kẻ \(AH\perp BC\) tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAC có:
\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)

Do AD và AE lần lượt là hai tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A

\(\Rightarrow AD\perp AE\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AED có:

\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}\) (AH là đường cao của tam giác AED do \(AH\perp BC\) hay \(AH\perp ED\))

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{DA^2}\)

Vậy...

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\frac{BAC}{2}\right)\)

\(=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sqrt2}{AB+AC}\)

=>\(\frac{\sqrt2}{AD}=\frac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

a)

a)Kẻ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC

Tứ giác AEDF có ∡FAE = ∡AED = 90 độ

⇒ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật

Ta có: AD là tia phân giác ∡BAC hay ∡EAF

⇒ Tứ giác AEDF là hình vuông

⇒ DE = DF = AD/√2

ΔABC có AB//DF (cùng ⊥ với CA)

⇒ DF/DB = CD/BC

Tương tự: AC//DE ⇒ DE/AC = BD/BC

⇒ DF/AB + DE/AC = (CD+BD)/BD

⇔ AD/(AB√2) + AD/(AC√2) = BC/BC

⇔ 1/AB + 1/AC = √2/AD (đpcm)

A B D C E

a/ \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.AD.sin\widehat{BAD}=AB.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.sin\widehat{CAD}=AC.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\)

Suy ra : \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{4}AD.\left(AB+AC\right)\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)

b/ Tương tự 

Hình tự vẽ

Từ D kẻ DE ⊥ AB (E ∈ AB); DF ⊥ AC (F ∈ AC)

Tứ giác AEDF có: \(\widehat{DEA}=\widehat{EAF}=\widehat{AFD}=90^o\)

=> AEDF là hình chữ nhật. Lại có AD là tia phân giác \(\widehat{EAF}\)

=> AEDF là hình vuông

=> AE = AF = DF = DE = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)

Xét ΔBED và ΔDFC có:

\(\widehat{BED}=\widehat{DFC}=90^o\)

\(\widehat{EBD}=\widehat{FDC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

=> ΔBED ~ ΔDFC (g.g)

=> \(\dfrac{BE}{DF}=\dfrac{ED}{FC}\Rightarrow\dfrac{AB-AE}{DF}=\dfrac{ED}{AC-AF}\)

=> (AB - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\))(AC - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)) = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}.\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)

=> AB.AC - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)(AB + AC) + \(\dfrac{AD^2}{2}\) = \(\dfrac{AD^2}{2}\)

=> AB.AC = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)(AB + AC)

=> \(\dfrac{AB.AC}{AB+AC}=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)

=> \(\dfrac{AB+AC}{AB.AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\Rightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AD}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\)

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/430448.html

1: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

hay AH=2,4(cm)