\(mx^2-4x+m-3=0\left(1\right)\)

Để tập hợp B có đúng 2 tập con và \(B\subset A\) thì \(\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt cùng dương

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\P>0\\S>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-m\left(m-3\right)>0\\\dfrac{m-3}{m}>0\\\dfrac{4}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m-4< 0\\m< 0\cup m>3\\m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 4\\m< 0\cup m>3\\m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow3< m< 4\)

Ta có:

\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}\) 

+) \(\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}\right)=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\right)\)

          \(=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}\right)=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{13}{6}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

          \(=-\dfrac{13}{18}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

=> \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{5}{18}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

Mặt khác:

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+k\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\)

Để A, G, I thẳng hàng 

=>\(\dfrac{\dfrac{5}{18}}{1-k}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{k}\Rightarrow k=\dfrac{6}{11}\)

Để B có đúng hai tập con thì phương trình \(mx^2-4x+m-3=0\) (1) phải có duy nhất 1 nghiệm

TH1: m=0

Phương trình (1) sẽ trở thành:

\(0\cdot x^2-4x+0-3=0\)

=>-4x-3=0

=>4x+3=0

=>4x=-3

=>\(x=-\frac34\)

=>B={-3/4}

=>B có duy nhất 1 phần tử

=>B có đúng 2 tập con

=>Nhận

A=(0;+∞); B={-3/4}

=>B không là tập con của A

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4m\left(m-3\right)=16-4m^2+12m=-4\left(m^2-3m-4\right)\)

=-4(m-4)(m+1)

Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì Δ=0

=>m-4=0 hoặc m+1=0

=>m=4 hoặc m=-1

Khi m=4 thì \(x=\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot m}=\frac{4}{2m}=\frac{2}{m}=\frac24=\frac12\)

=>B={1/2}

mà A=(0;+∞)

nên B là tập con của A

=>Nhận

Khi m=-1 thì \(x=\frac{2}{m}=\frac{2}{-1}=-2\)

=>B={-2}

mà A=(0;+∞)

nên B không là tập con của A

=>Loại

Thay x=1 vào \(x^2-4x+m+2=0\) , ta được:

\(1^2-4\cdot1+m+2=0\)

=>1-4+m+2=0

=>m-1=0

=>m=1

Thay x=2 vào \(x^2-4x+m+2=0\) , ta được:

\(2^2-4\cdot2+m+2=0\)

=>4-8+2+m=0

=>m-2=0

=>m=2

=>Để A giao B =rỗng thì m∉{1;2}

a)A rỗng với mọi m

b)B rỗng với m>-8