A B C H D E F I

Dễ thấy \(\Delta\)CAH~\(\Delta\)CBA (g.g) => \(\frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}\)(1)

\(\Delta\)BHA có: D là trung điểm HB; E là trung điểm HA => DE là đường trung bình \(\Delta\)BHA

=> DE // AB => DE vuông góc AC (Do AB vuông góc AC)

Xét \(\Delta\)ADC: AH vuông góc DC, E nằm trên AH và DE vuông góc AC

=> E là trực tâm tam giác ADC => CE vuông góc AD (tại F)

Mà I là điểm đối xứng với A qua F => CE là trung trực của AI => CA=IC (2)

Thay (2) vào (1) ta được: \(\frac{CH}{IC}=\frac{IC}{CB}\)

Xét \(\Delta\)CIH và \(\Delta\)CBI: ^ICB chung; \(\frac{CH}{IC}=\frac{IC}{CB}\)=> \(\Delta\)CIH ~ \(\Delta\)CBI (c.g.c)

=> ^CIH=^CBI (đpcm).

a: Xét tứ giác AHBD có

M là trung điểm chung của AB và HD

=>AHBD là hình bình hành

Hình bình hành AHBD có \(\hat{AHB}=90^0\)

nên AHBD là hình chữ nhật

=>\(\hat{HAD}=90^0\)

Xét tứ giác AHCE có

N là trung điểm chung của AC và HE

=>AHCE là hình bình hành

Hình bình hành AHCE có \(\hat{AHC}=90^0\)

nên AHCE là hình chữ nhật

=>\(\hat{HAE}=90^0\)

\(\hat{EAD}=\hat{EAH}+\hat{DAH}=90^0+90^0=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên MH=MA=MB

ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=NA=NC

Xét ΔMHN và ΔMAN có

MH=MA

HN=AN

MN chung

Do đó: ΔMHN=ΔMAN

=>\(\hat{MHN}=\hat{MAN}=90^0\)

=>\(\hat{EHD}=90^0\)

Xét ΔHED vuông tại H có HA là đường cao

nên \(AE\cdot AD=HA^2\)

b; \(\sin ABC=\sin\left(2\cdot ABK\right)=2\cdot\sin ABK\cdot cosABK\)

\(=2\cdot\sin ABK\cdot cosCBK\)

ối chồi em mới lớp 7 thôi

a) Xét tứ giác AKIB có

\(\widehat{AKB}=\widehat{AIB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{AKB}\) và \(\widehat{AIB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AB

Do đó: AKIB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)