a) Xét ΔABC có 

MN//BC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)(Định lí Ta lét)

Suy ra: \(\dfrac{6}{4}=\dfrac{8}{NC}\)

hay \(NC=\dfrac{16}{3}cm\)

Ta có: AM+MB=AB(M nằm giữa A và B)

nên AB=6+4=10(cm)

Ta có: AN+NC=AC(N nằm giữa A và C)

nên \(AC=8+\dfrac{16}{3}=\dfrac{40}{3}cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=10^2+\left(\dfrac{40}{3}\right)^2=\dfrac{2500}{9}\)

hay \(BC=\dfrac{50}{3}cm\)

Xét ΔABC có 

MN//BC(gt)

nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{MN}{\dfrac{50}{3}}=\dfrac{6}{10}\)

\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{6\cdot\dfrac{50}{3}}{10}=\dfrac{100}{10}=10cm\)

Vậy: MN=10cm; \(NC=\dfrac{16}{3}cm\); \(BC=\dfrac{50}{3}cm\)

a: Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\)

=>\(\frac{8}{NC}=\frac64=\frac32\)

=>NC=16/3(cm)

ΔAMN vuông tại A

=>\(MN^2=AM^2+AN^2=6^2+8^2=10^2\)

=>MN=10(cm)

BA=AM+MB=6+4=10(cm)

Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}\)

=>10/BC=6/10

=>BC=10*10/6=10*5/3=50/3(cm)

b: Kẻ MK⊥BC tại K; AH⊥BC tại H

=>MK//AH

AC=AN+NC=8+16/3=40/3(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot\frac{50}{3}=10\cdot\frac{40}{3}=\frac{400}{3}\)

=>AH=8(cm)

Xét ΔBAH có MK//AH

nên \(\frac{MK}{AH}=\frac{BM}{BA}\)

=>\(\frac{MK}{8}\) =4/10=2/5

=>MK=8*2/5=16/5=3,2(cm)

Xét tứ giác BMND có

MN//BD

MB//ND

Do đó: BMND là hình bình hành

=>BD=MN=10(cm)

Diện tích hình bình hành BMND là:

\(S_{BMND}=MK\cdot BD=3,2\cdot10=32\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a

Do \(MN//BC\) nên theo định lý Thales ta có:\(\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{8}{NC}=\frac{3}{2}\Rightarrow NC=\frac{16}{3}\)

Áp dụng định Pythagoras ta có:\(AM^2+AN^2=MN^2\Rightarrow MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=10\)

Mà \(\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow\frac{3}{2}=\frac{10}{BC}\Rightarrow BC=\frac{20}{3}\)

b

Hạ \(NH\perp BC;MG\perp BC\)

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABC ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow AB^2=\sqrt{BC^2-AC^2}\Rightarrow AB=\sqrt{10-\left(\frac{16}{3}\right)^2-8^2}=\frac{2\sqrt{17}}{3}\)

Bạn áp dụng định lý Ta Lét ( do ND//AB ) rồi tính được ND

Diện tích tam giác vuông NCD sẽ tính bằng \(\frac{NC\cdot ND}{2}\) ( do đã biết được ND và NC )

Lại có \(S_{NCD}=\frac{NH\cdot CD}{2}\) rồi tính được NH.

Do NH=MG nên tính được diện tích hình bình hành BMND.Hướng là thế đấy,bạn làm tiếp nha,mik nhác quá:( 

a: Xét ΔABC có MN//BC

nên AM/MB=AN/NC

=>8/NC=6/4=3/2

=>NC=8:3/2=16/3(cm)

AC=AN+NC=8+16/3=40/3(cm)

AB=6+4=10(cm)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có MN//BC

nên MN/BC=AM/AB

=>\(MN=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{50}{3}=10\left(cm\right)\)

b: \(S_{BMND}=MN\cdot MB=10\cdot4=40\left(cm^2\right)\)

vẽ hình(tự vẽ)

a)  Xét △ABC có MN // BC(gt) ,theo định lí Ta-lét ta có:

     \(\dfrac{AM}{MB}\)=\(\dfrac{AN}{NC}\) hay \(\dfrac{6}{4}\)=\(\dfrac{8}{NC}\)⇒NC=\(\dfrac{8.4}{6}\)=5,3(cm)

Ta có: AB=AM+BM=6+4=10(cm)

          AC=AN+NC=8+5,3=13,3(cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào △ABC vuông tại A ta có:

     BC=\(\sqrt{AB^2+AC^2}\)=\(\sqrt{10^2+13,3^2}\)=\(\sqrt{276,89}\)=16,6(cm)

Xét △ABC có MN // BC,theo hệ quả định lí Ta -lét ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}\)=\(\dfrac{MN}{BC}\)hay \(\dfrac{6}{10}\)=\(\dfrac{MN}{16,6}\)⇒MN=\(\dfrac{16,6.6}{10}\)=9,96(cm)

b)

b)Xét tứ giác BMND có: BM//DN (AB//DN theo giả thiết)

                                       BD// MN(BC//MN theo giả thiết)

  ⇒ tứ giác BMND là hình bình hành

Diện tích hình bình hành BMND là:

  \(S_{BMND}\)=AN.BM=8.4=32(\(cm^2\))