Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác MNBD có
\(\widehat{BDM}+\widehat{BNM}=90^0+90^0=180^0\)
=>MNBD là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{NBD}+\widehat{NMD}=180^0\)
mà \(\widehat{NBD}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{NMD}=\widehat{ABC}\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{NMD}=\widehat{AMC}\)
=>\(\widehat{NMA}=\widehat{CMA}\)
=>MA là phân giác của góc NMC
b: Ta có: NBDM là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{DBM}=\widehat{DNM}\)
=>\(\widehat{MBC}=\widehat{ENM}\left(3\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC
\(\widehat{MAC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC
Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{ENM}=\widehat{MAC}\)
=>\(\widehat{ENM}=\widehat{EAM}\)
=>ANME là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AEM}+\widehat{ANM}=180^0\)
=>\(\widehat{AEM}=90^0\)
=>ME\(\perp\)AC
1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~
A B C O I K H Q D
Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)
Ta lại có: \(BD\perp HK\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)
\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)
Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))
Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)
\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)
(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )
Do BM là tiếp tuyến của đường tròn nên \widehat{OBM}=90^o
o
Xét đường tròn (O) có AD là một dây cung. Lại có E là trung điểm AD nên theo tính chất của đường kính và dây cung, ta có OE\perp ADOE⊥AD hay \widehat{OEM}=90^oOEM=90o.
Xét tứ giác OEBM có \widehat{OBM}=\widehat{OEM}=90^oOBM=OEM=90o, chúng lại là hai góc kề nhau nên OEBM là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác ABCABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm OO (AB < AC)(AB<AC). Hai tiếp tuyến tại BB và CC cắt nhau tại MM. AMAM cắt đường tròn (O)(O) tại điểm thứ hai DD. Gọi EE là trung điểm đoạn ADAD. Chứng minh OEBMOEBM là tứ giác nội tiếp.
theo bai ta co E là trung điểm đoạn ADAD
ma AD la mot day cung thuoc (O)
=> OE vuong goc voi AD
hay goc OEM = 90 (1)
Mat khac, BM vuong goc voi OB tai B (gt)
hay goc OBM= 90 (2)
Tu (1) va (2) suy ra tu giac OEBM noi tiep
a:
Xét ΔABC có
AD,BE là các đường cao
AD cắt BE tại H
Do đó: H là trực tâm cua ΔABC
=>CH⊥AB
Xét (O) có
ΔABF nội tiếp
AF là đường kính
Do đó: ΔABF vuông tại B
=>BF⊥BA
mà CH⊥BA
nên CH//BF
Xét (O) có
ΔACF nội tiếp
AF là đường kính
Do đó: ΔACF vuông tại C
=>CA⊥CF
mà BH⊥CA
nên BH//CF
b: Xét (O) có
\(\hat{BMA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA
=>\(\hat{BMA}=\hat{BCA}\)
mà \(\hat{BCA}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)
nên \(\hat{BMH}=\hat{BHM}\)
=>BH=BM
=>B nằm trên đường trung trực của HM
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBDM vuông tại D có
BH=BM
BD chung
Do đó: ΔBDH=ΔBDM
=>\(\hat{DBH}=\hat{DBM}\)
Xét ΔBHC và ΔBMC có
BH=BM
\(\hat{HBC}=\hat{MBC}\)
BC chung
Do đó: ΔBHC=ΔBMC
=>CH=CM
=>C nằm trên đường trung trực của HM(2)
Từ (1),(2) suy ra BC là đường trung trực của HM
c: Ta có: CH=CM
CH=BF
Do đó: CM=BF
Xét tứ giác BCFM có
BC//FM
BF=CM
Do đó: BCFM là hình thang cân
Xét (O) có
\(\widehat{EAB}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)
\(\widehat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)
Do đó: \(\widehat{EAB}=\widehat{BCE}\)(Hệ quả góc nội tiếp)
hay \(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)
Xét ΔDAB vuông tại D và ΔDCE vuông tại D có
\(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)(cmt)
Do đó: ΔDAB\(\sim\)ΔDCE(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Leftrightarrow DA\cdot DE=DB\cdot DC\)(đpcm)