Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, lấy điểm D sao cho DA = DC và góc ACD = 1/2 góc ABC.

a) chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

b)Trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, lấy E, F theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn CB, BA bởi các góc CAB, BCA. Chứng minh rằng BD và EF là hai đường thẳng vuông góc

c) Gọi M là giao điểm của BD và CF Chứng minh tam giác CDM cân

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), dựng $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $M$, $N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm $H$ trên $AB$ và $AC$. Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $D$. Trên nửa mặt phẳng bờ $CD$ chứa điểm $A$ vẽ nửa đường tròn đường kính $CD$. Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ cắt nửa đường tròn trên tại điểm $E$.

a) Chứng minh tứ giác $AMHN$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat{EBM}=\widehat{DNH}\).

c) Chứng minh $DM.DN = DB.DC$.

Bài 1: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, \(\widehat{A}\)= 45^o. Vẽ các đường cao BD và CEcủa tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a/ CM tứ giác AEHD nội tiếp.

b/ CM: HD=DC

c/ Tính tỉ số \(\frac{DE}{BC}\)

d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR: OA vuông góc DE.

Bài 2: Cho đường tròn (T) tâm O, đường kính AB ẽ các tiếp tuyến Ax , By. Lấy một điểm M di động trên đường tròn (T), gọi C là một điểm cố định trên đoạn OA, đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với CM tại M cắt Ax, By lần lượt tại E,F.

a/ CM tam giác ECF vuông góc tại C.

b/ Xác định điểm M trên đường tròn (T) để tứ giác AEFB có diện tích nhỏ nhất.

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$), có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và $D$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AO$ sao cho $D$ nằm giữa $A$ và $O$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là giao điểm của $BD$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $MD$ và $AC$. $E$ là giao điểm thứ hai của $BD$ với đường tròn $(O)$, $H$ là giao điểm của $BF$ và $AD$. Chứng minh rằng:

a/ Tứ giác $BDOM$ nội tiếp và \(\widehat{MOD}+\widehat{NAE}=180^o\).

b/ $DF//CE$, từ đó suy ra $NE.NF = NC.ND$.

Cho tam giác ABC (AB<AC) có 3 góc nhọn. đường tròn tâm (O;BC) cắt các cạnh AB,AC theo thứ tự tại E,F. Gọi H là giao điểm của BF và CE, I là giao điểm của AH và BC. Từ A kẻ tiếp tuyến AN, AM đến đường tròn tâm O với N, M là các tiếp điểm (N, B không cùng nửa mặp phẳng bờ AO).

a) Chứng minh các điểm A, I, M, N, O cùng nằm trên 1 đường tròn

b) Chứng minh \(AH.AI=AM^2\)

c) Chứng minh \(\widehat{ANH}=\widehat{AIN}\)

Cho (O) và điểm A nắm ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuywwns AB,AC (B,C là tiếp điểm). Gọi giao của AO và (O) là D và E (D nằm giữa A và E), giao của Bc và AO là H.

a)chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

b) Lấy F là 1 điểm bất kì trên cung nhỏ CD của (O) (F khác D,C). Từ A kẻ đường vuông góc với EF cắt EF tại M và cắt CF tại N.Chứng minh:\(\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{AE}\)và \(\frac{NF}{NE}=\frac{BD^2}{BE^2}\)