Chọn đáp án D.

* Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.

Trong nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O)

A B C E D H M K H

a) Xét tứ giác ADHE có: 

       \(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^o+90^o=180^o\)

=> tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH.

b) hơi khó, mình chịu thôi, nhưng chỉ cần CM góc HED = góc EAM là mình sẽ làm được.

1: Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}+\hat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCDE có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

\(\hat{CNM};\hat{CBM}\) là các góc nội tiếp chắn cung CM

=>\(\hat{CNM}=\hat{CBM}\)

mà \(\hat{CBM}=\hat{CBD}=\hat{CED}\overline{}\) (BEDC nội tiếp)

nên \(\hat{CED}=\hat{CNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên ED//MN

3: Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA⊥CK

mà CA⊥BM

nên BM//CK

=>BMCK là hình thang

=>\(\hat{KBM}+\hat{BKC}=180^0\)

mà \(\hat{BKC}+\hat{BMC}=180^0\) (BMCK nội tiếp (O)))

nên \(\hat{KBM}=\hat{CMB}\)

=>BMCK là hình thang cân

Sửa đề: cắt AB,AC lần lượt tại E và D

a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE⊥AB tại E

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó; ΔBDC vuông tại D

=>BD⊥AC tại D

Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}+\hat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHD là tứ giác nội tiếp

b: Gọi K là giao điểm của AH và BC

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại K

Gọi I là trung điểm của AH

=>I là tâm đường tròn đường kính AH

ΔADH vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên ID=IH=IA

ID=IH

=>ΔIDH cân tại I

=>\(\hat{IDH}=\hat{IHD}\)

mà \(\hat{IHD}=\hat{BHK}=\hat{BCD}\) (=90 độ-góc DBC)

nên \(\hat{IDH}=\hat{BCD}\)

OB=OD

=>ΔOBD cân tại O

=>\(\hat{ODB}=\hat{OBD}\)

\(\hat{IDO}=\hat{IDH}+\hat{ODH}\)

\(=\hat{DBC}+\hat{DCB}=90^0\)

=>OD là tiếp tuyến tại D của (I)

=>OD là tiếp tuyến tạiD của đường tròn ngoại tiếp ΔADH

c: Xét ΔADB vuông tại D có cos DAB=\(\frac{AD}{AB}\)

=>\(\frac{AD}{AB}=cos60=\frac12\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

góc DAE chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

=>\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{ABC}=4\cdot S_{DAE}\)

a: góc ADH+góc AEH=180 độ

=>ADHE nội tiếp

b: góc EDH=góc BAF

góc FDH=góc ECB

mà góc BAF=góc ECB

nên góc EDH=góc FDH

=>DH là phân giác của góc EDF

a: Xét tứ giác ADHE có

góc AdH+góc AEH=180 độ

=>ADHElà tứ giác nội tiếp

I là trung điểm của AH

b: Xét tứ giác BEDC có

góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC là tứ giác nội tiếp

góc EDB=góc BAF

góc FDB=góc ECB
mà góc BAF=góc ECB

nên góc EDB=góc FDB

=>DB là phân giác của góc EDF

A K I D E H B F C

a ) Ta có : \(BD\perp AC,CE\perp AB\)

\(\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0,\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\)

\(\Rightarrow ADHE,BEDC\) nội tiếp

b . Ta có : \(\widehat{DHC}=\widehat{EHB},\widehat{HDC}=\widehat{HEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta HDC~\Delta HEB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HD}{HE}=\frac{HC}{HB}\Rightarrow HD.HB=HE.HC\)

c . Vì H là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\perp BC=F\)

Lại có : \(\widehat{AHD}=\widehat{CBF}\left(+\widehat{FAC}=90^0\right)\)

\(\widehat{AID}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AHD}\)

\(\Rightarrow\Delta AHI\) cân tại A 

Mà \(AD\perp HI\Rightarrow AD\) là trung trực của HI \(\Rightarrow\)AC là đường trung trực của của HI.

d ) Từ câu c \(\Rightarrow AI=AH\)

Tương tự \(\Rightarrow AK=AH\Rightarrow A\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HIK\)