lớp mấy 8 hay 7

A B C H E F

a) Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABH; ACH và ABC

\(AB.BE=BH^2;AC.CF=CH^2\)

\(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\)

=> \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)

<=> \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE.AB}{CF.AC}=\frac{BH^2}{CH^2}\)

<=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\)

<=> \(\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\)

<=> \(\frac{BH}{CH}=\frac{BH}{CH}\) đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng

b) 

Ta có: \(AH^2=BH.CH\)

=> \(AH^4=BH^2.CH^2=BE.AB.CF.AC=BE.CF.AB.AC=BE.CF.AH.BC\)

=> \(AH^3=BC.BE.CF\)

c)   

Xét tam giác vuông BEH và tam giác vuông HFC

có: ^EBH =^FHC ( cùng phụ góc FCH)
=> Tam giác BEH đồng dạng tam giác HFC

=> \(\frac{BE}{HF}=\frac{EH}{FC}\Rightarrow BE.FC=EH.FH\)

=> \(AH^3=BC.HE.HF\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)có :

\(C\ge\frac{4}{1+\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1+1}=2\)

Dấu = khi a=b=1/2

Sorry mik chỉ làm được câu a thôi mong bn thôn g cảm 

tu giác AEHF là hình chữ nhật
CF=AC-AF
BE=AB-AE
binh phuong công lai
AC^2+AB^2-2AE.AB-2AC.AF+AE^2+Af^2
AC^2+AB^2=BC^2
ae^2+af^2=ef^2=ah^2
AE.AB=AH^2
AF.AC=AH^2
thay vào VP=3AH^2+BC^2-2AH^2-2AH^2+AH^2=BC^2=VT

Vẽ hình

A F H

Câu hỏi của Lưu Như Ý - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo!

🔷 Đề bài:

Cho tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với \(A B < A C\), đường cao từ A là \(A H\).

a) Cho \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm}\), \(B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\). Giải tam giác ABC.

b) Gọi M là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC.

Chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

🔹 Phần a) – Giải tam giác ABC

Dữ kiện:

• Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\)
• \(A B < A C\) ⇒ B là góc nhỏ hơn C ⇒ \(\angle B < \angle C\)
• \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\) (BC là cạnh huyền)
• Cần tìm cạnh còn lại AB và các góc.

✳️ Tính cạnh AB:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:

\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 400 - 256 = 144 \Rightarrow A B = \sqrt{144} = \boxed{12 \textrm{ } \text{cm}}\)

✳️ Tính các góc B và C:

Sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông tại A:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{3}{5} \left.\right) \approx \boxed{53.13^{\circ}}\)\(\angle C = 90^{\circ} - \angle B \approx 90^{\circ} - 53.13^{\circ} = \boxed{36.87^{\circ}}\)

✅ Kết quả phần a:

\(A B = 12 \textrm{ } \text{cm} , A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)\(\angle B \approx 53.13^{\circ} , \angle C \approx 36.87^{\circ}\)

🔹 Phần b) – Chứng minh:

Gọi:

• H là chân đường cao từ A
• M là hình chiếu của H lên AB
• K là hình chiếu của H lên AC

Cần chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

🎯 Chiến lược giải:

Chúng ta sẽ:

1. Làm việc trong tam giác vuông tại A với đường cao AH
2. Dựng các hình chiếu M, K
3. Sử dụng lượng giác để biểu diễn độ dài các đoạn BM, CK
4. Chứng minh đẳng thức

✳️ Bước 1: Ghi nhớ các quan hệ

Trong tam giác ABC vuông tại A:

• Gọi \(A H \bot B C\)
• \(H\) là chân đường cao từ A xuống BC
• \(M\) là hình chiếu của H lên AB
• \(K\) là hình chiếu của H lên AC

✳️ Bước 2: Tọa độ hóa (tùy chọn – hỗ trợ hình dung và tính toán):

Giả sử:

• Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• Vì tam giác vuông tại A, ta đặt:
• • \(B \left(\right. 12 , 0 \left.\right)\) (nằm trên trục hoành)
  • \(C \left(\right. 0 , 16 \left.\right)\)

→ Khi đó:

• \(A B = 12\)
• \(A C = 16\)
• \(B C = 20\) (đã đúng với phần a)

✳️ Bước 3: Tính AH

Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \boxed{9.6 \textrm{ } \text{cm}}\)

✳️ Bước 4: Tính BM và CK

Ta sẽ dùng công thức lượng giác để biểu diễn BM và CK.

Tam giác ABH vuông tại H:

• Góc \(\angle A B H = \angle B\)
• Trong tam giác vuông ABH:
  \(B M = A H \cdot cos ⁡ B\)

Tam giác ACH vuông tại H:

• Góc \(\angle A C H = \angle C\)
• Trong tam giác vuông ACH:
  \(C K = A H \cdot sin ⁡ B\)

(Vì tam giác vuông tại A, nên \(\angle C = 90^{\circ} - B\), nên \(cos ⁡ C = sin ⁡ B\))

✳️ Tính tổng:

\(B M + C K = A H \cdot \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài yêu cầu:

\(B M + C K = B C \cdot \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

✳️ Liên hệ \(A H\) với \(cos ⁡ B\) và \(sin ⁡ B\):

Ta biết:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow A B = B C \cdot cos ⁡ B\)\(sin ⁡ B = \frac{A C}{B C} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow A C = B C \cdot sin ⁡ B\)

Rồi:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{B C \cdot cos ⁡ B \cdot B C \cdot sin ⁡ B}{B C} = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B\)

Thay vào biểu thức:

\(B M = A H \cdot cos ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot cos ⁡ B = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B\)\(C K = A H \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B\)

Tổng lại:

\(B M + C K = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B + B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài là:

\(B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

Nhận xét:

Dùng đẳng thức đáng nhớ:

\(a^{3} + b^{3} = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right)\)

Không giống trực tiếp.

Nhưng:

Từ trước:

\(B M = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B (\text{1})\)\(C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B (\text{2})\)

Tổng:

\(B M + C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Mặt khác:

\(\left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{2} B - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B + \left(sin ⁡\right)^{2} B \left.\right) = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. 1 - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left.\right)\)

⇒ Nhận thấy đề bài không yêu cầu rút gọn, chỉ cần biến đổi khéo biểu thức ban đầu về vế phải.

✅ Kết luận:

\(\boxed{B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)}\)

Chứng minh hoàn tất.

Tham khảo

NA/BA = NC/BC 
Vì Tam giác ABC vuông tại A, biết AB=3cm,BC=5cm => AC= 4(cm) 
=> NC-NA=4 (cm) 
=> NC/BC = NA/BA = ( NC-NA)/(BC-AB) = 2 
=> NA= BA*2 =6 (cm)

Câu 4:

A B C E F H O I P K Q x

a) Vì BE,CF là các đường cao của \(\Delta\)ABC nên ^BEC = ^CFB = 90⁰

=> ^BEC và ^CFB cùng nhìn đoạn BC dưới một góc 90⁰

=> Bốn điểm B,C,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính BC (Theo quỹ tích cung chứa góc) (đpcm).

b) Gọi Ax là tia tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), khi đó OA vuông góc Ax

Từ câu a ta thấy tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn  (BC) => ^AFE = ^ACB

Mà ^ACB = ^BAx (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây) nên ^AFE = ^BAx

=> EF // Ax (2 góc so le trong bằng nhau)

Do OA vuông góc Ax nên OA vuông góc EF (Quan hệ song song, vuông góc) (đpcm).

c) +) Ta dễ có ^OAC = 90⁰ - ^AOC/2 = 90⁰ - ^ABC = ^BAH => ^OAC + ^OAH = ^BAH + ^OAH => ^BAI = ^EAP

Xét \(\Delta\)APE và \(\Delta\)AIB: ^EAP = ^BAI, ^AEP = ^ABI (Tứ giác BFEC nội tiếp) => \(\Delta\)APE ~ \(\Delta\)AIB (g.g) (đpcm).

+) Gọi AO cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại Q. Khi đó AQ là đường kính của (O)

Nên ta có: ^ABQ = ^ACQ = 90⁰ hay BQ vuông góc AB, CQ vuông góc AC. Mà CH vuông góc AB, BH vuông góc AC

Nên BQ // CH, BH // CQ (Quan hệ song song vuông góc) => Tứ giác BHCQ là hình bình hành

Từ đó HQ đi qua trung điểm K của BC hay H,K,Q thẳng hàng (1)

Cũng dễ thấy ^QBC = ^HCB (Vì BQ // CH) = ^FEH (Vì B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn)

Hay ^QBI = ^HEP. Kết hợp với ^BQI = ^BQA = ^ACB = ^AHE (Cùng phụ ^CAH) = ^EHP

Suy ra \(\Delta\)BIQ ~ \(\Delta\)EPH (g.g) => \(\frac{HP}{QI}=\frac{EP}{BI}\). Lại có \(\frac{EP}{BI}=\frac{AP}{AI}\)nên \(\frac{HP}{QI}=\frac{AP}{AI}\)

Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)AQH ta có IP // HQ (2)

Từ (1) và (2) ta thu được KH // IP (đpcm).

Nếu ko nhìn rõ thì bn có thể tham khảo tại:

https://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/tuyen-sinh/dap-an-mon-toan-thi-tuyen-sinh-lop-10-ha-noi-2019-cua-so-gd-dt-ha-noi-539465.html

https://vnexpress.net/giao-duc/so-giao-duc-va-dao-tao-ha-noi-cong-bo-dap-an-thi-vao-lop-10-3934904.html

https://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/tuyen-sinh/dap-an-mon-toan-thi-tuyen-sinh-lop-10-ha-noi-2019-cua-so-gd-dt-ha-noi-539465.html

https://tin.tuyensinh247.com/dap-an-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-ha-noi-nam-2019-c29a45461.html