Bài 1: 

a) Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

Góc AEB=góc AFC(=90 độ)

Góc A chung

=>Tam giác ABE đồng dạng vs tam giác ACF (g-g)

b)

Vì tam giác ABE đồng dạng vs tam giác ACF(cmt)

=>\(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)

Xét tam giác AFE và tam giác ACB có:

Góc A chung(gt)

\(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)

=>Tam giác AFE và tam giác ACB đồng dạng (c-g-c)

c)

H ở đou ra vại? :))

BE vs CF cắt nhau ở h còn j bạn;-;

a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$

Xét $\triangle ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.

Ta có $AD \perp BC$, $BE \perp AC$, $CF \perp AB$.

Trong hai tam giác $AEB$ và $AFC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$ (vì $BE \perp AC$ và $CF \perp AB$).

Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.

b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $AEF$ với các chân cao $E, F$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$ (cùng vuông với đường cao).

Suy ra $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.

c) Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$

Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $M$ là trung điểm $BC$.

Theo tính chất hình học trực tâm: tứ giác $BCEF$ nội tiếp, nên

$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.

d) Chứng minh $MN \perp EF$

Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.

Theo tính chất trực tâm và đường trung bình, đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.

Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.

a. Xét △ AFC và △ AEB có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^0\)

⇒ △AFC đồng dạng với △ AEB(g.g)

⇒ \(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\)

⇒ \(AB.AF=AE.AC\)

\(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét △ AEF và △ ABC có :

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\left(cmt\right)\)

⇒△ AEF đồng dạng với △ ABC (c.g.c)

Mấy câu kia bạn tự làm nốt đi nhá.

a)

Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên: $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$.

Lại có: $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$).

=> $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ (g.g).

Tỉ số đồng dạng: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

b)

Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.

=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).

c)

Gọi $I = EF \cap BC$, $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có hệ thức quen thuộc: $IE \cdot IF = IM^2 - MB^2$.

Mà $MB = \dfrac{BC}{2}$ nên: $MB^2 = \dfrac{BC^2}{4}$.

=> $IE \cdot IF = IM^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.

d)

Gọi $N$ là trung điểm của $AH$.

Ta có $A,E,F,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ nên:
$N$ là tâm đường tròn đó.

=> $NE = NF$.

Do đó $N$ nằm trên đường trung trực của $EF$.

Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cố định.

=> $MN \perp EF$.