Đặt AB=x

=>AC=x+1; BC=x+2

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{x^2+\left(x+1\right)^2-\left(x+2\right)^2}{2\cdot x\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+x^2+2x+1-x^2-4x-4}{2x\left(x+1\right)}=\frac{x^2-2x-3}{2x\left(x+1\right)}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{2x\left(x+1\right)}=\frac{x-3}{2x}\)

Xét ΔABC có cos C=\(\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)^2+\left(x+2\right)^2-x^2}{2\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2+2x+1+x^2+4x+4-x^2}{2\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{x^2+6x+5}{2\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+5\right)}{2\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x+5}{2\left(x+2\right)}\)

Xét ΔBAH vuông tại H có cos A=\(\frac{AH}{AB}\)

=>\(\frac{AH}{x}=\frac{x-3}{2x}\)

=>\(AH=\frac{x-3}{2}\)

AH+HC=AC

=>HC=AC-AH

=>\(HC=x+1-\frac{x-3}{2}=\frac{2\left(x+1\right)-x+3}{2}=\frac{2x+2-x+3}{2}=\frac{x+5}{2}\)

\(HC-AH=\frac{x+5}{2}-\frac{x-3}{2}=\frac{x+5-x+3}{2}=\frac82=4\)

=>ĐPCM

BC=BH+CH

=13+25=38(cm)

Gọi O là trung điểm của BC

=>OB=OC=38/2=19(cm)

Đường trung trực của BC cắt AC tại I

=>IO⊥BC tại O

mà AH⊥BC

nên IO//AH

Xét ΔCHA có OI//AH

nên CI/CA=CO/CH

=>\(\frac{CI}{30}=\frac{19}{25}\)

=>\(CI=30\cdot\frac{19}{25}=22,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

Tam giác ABC có chu vi bằng 74cm, AC là cạnh lớn nhất. Đường phân giác của góc A chia cạnh BC thành hai đoạn tỉ lệ với 2:3; đường phân giác của góc C chia cạnh AB thành hai đoạn tỉ lệ với 4:5. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. 

AB + BC + AC = 74 (*) 
Trong ∆ ABC phân giác AD → AB/AC = DB/DC = 2/3 (AC > AB) 
→ AB = 2/3 . AC (1) , tương tự với phân giác CE ta suy ra 
BC = 4/5 . AC (2) . Thế tất cả vào (*) ta được: 
2/3 . AC + 4/5 . AC + AC = 74 → 37AC/15 = 74 → AC = 30cm 
thế vào (1) và (2) ta được AB = 10cm, BC = 24cm