Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔDHB
=>OD=OH=OB
ΔAHB vuông tại H
mà HD là đường trung tuyến
nên DH=DB
=>D nằm trên đường trung trực của HB(1)
Ta có: IB=IH
=>I nằm trên đường trung trực của HB(2)
Ta có: OB=OH
=>O nằm trên đường trung trực của HB(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra D,I,O thẳng hàng
=>DI là một phần đường kính của (O)
Xét ΔABC có
D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DE là đường trung bình của ΔACB
=>DE//BC
mà BC⊥AH
nên DE⊥AH
Xét ΔBAH có
D,I lần lượt là trung điểm của BA,BH
=>DI là đường trung bình của ΔBAH
=>DI//AH
mà DE⊥AH
nên DE⊥ DI
=>DE là tiếp tuyến tại D của (O)
=>ĐPCM
Gọi X là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHEC
=>XH=XE=XC
ΔAHC vuông tại H
mà HE là đường trung tuyến
nên EH=EC
=>E nằm trên đường trung trực của HC(4)
Ta có; XH=XC
=>X nằm trên đường trung trực của HC(5)
Ta có: KH=KC
=>K nằm trên đường trung trực của HC(6)
Từ (4),(5),(6) suy ra E,X,K thẳng hàng
=>EK là một phần đường kính của (X)
Xét ΔAHC có
E,K lần lượt là trung điểm của CA,CH
=>EK là đường trung bình của ΔAHC
=>EK//AH
mà AH⊥DE
nên DE⊥ EK tại E
=>DE là tiếp tuyến tại E của (X)
- B', C' lần lượt là chân đường cao nên:
- B' ∈ AC, C' ∈ AB
- BB' ⟂ AC, CC' ⟂ AB
- Suy ra: ∠BB'C = ∠BC'C = 90° ⇒ tứ giác B, C, B', C' nội tiếp.
Xét hai tam giác BPC' và CPB':
- ∠PBC' = ∠PBA (vì C' ∈ AB)
= ∠PCA (cùng chắn cung PA)
= ∠PCB' (vì B' ∈ AC)
⇒ ∠PBC' = ∠PCB'
- ∠PC'B = ∠PAB (vì C' ∈ AB)
= ∠PBA (cùng chắn cung PA)
= ∠PB'C (vì B' ∈ AC)
⇒ ∠PC'B = ∠PB'C
Suy ra: △BPC' ∼ △CPB' (g.g)
- Do △BPC' ∼ △CPB' ⇒ ∠BPC' = ∠CPB'
- PE, PF là các tia phân giác nên:
∠BPE = ∠CPF
Xét hai góc:
- ∠KEP = ∠AEP − ∠AEK
- ∠KFP = ∠AFP − ∠AFK
Mà:
- ∠AEP = ∠AFP (do tính chất phân giác và cung chắn bằng nhau)
- ∠AEK = ∠AFK (vì K nằm trên AO', O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF)
⇒ ∠KEP = ∠KFP
Suy ra bốn điểm P, E, K, F cùng nằm trên một đường tròn.
⇒ Tứ giác PEKF nội tiếp.
Gọi T là giao điểm hai tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O').
- Ta có: TE = TF (hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm)
- Do PEKF nội tiếp:
- ∠TEP = ∠TFP
⇒ TE, TF cũng là tiếp tuyến của đường tròn (PEKF)
- ∠TEP = ∠TFP
Suy ra:
- ∠TPA = ∠TBA
- ∠TPA = ∠TCA
⇒ ∠TBA = ∠TCA
Vậy T nhìn BC dưới hai góc bằng nhau ⇒ T nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là nằm trên (O).
a, HS tự chứng minh
b, HS tự chứng minh
c, DAEH vuông nên ta có: KE = KA = 1 2 AH
=> DAKE cân tại K
=> K A E ^ = K E A ^
DEOC cân ở O => O C E ^ = O E C ^
H là trực tâm => AH ^ BC
Có A E K ^ + O E C ^ = H A C ^ + A C O ^ = 90 0
(K tâm ngoại tiếp) => OE ^ KE
d, HS tự làm