a. Xét △ AFC và △ AEB có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^0\)

⇒ △AFC đồng dạng với △ AEB(g.g)

⇒ \(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\)

⇒ \(AB.AF=AE.AC\)

\(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét △ AEF và △ ABC có :

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\left(cmt\right)\)

⇒△ AEF đồng dạng với △ ABC (c.g.c)

Mấy câu kia bạn tự làm nốt đi nhá.

a) \(\Delta ABE,\Delta ACF\) có \(\widehat{A}\) chung và \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^o\right)\) nên suy ra \(\Delta ABE~\Delta ACF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\Rightarrow AB.AF=AC.AE\).

b) Từ \(AB.AF=AC.AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\). Từ đó suy ra \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

c) Xét tam giác AEF có \(C\in AE,B\in AF,K\in EF\) và \(K,B,C\) thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus, ta có \(\dfrac{KF}{KE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)  (1).

 Mặt khác, cũng trong tam giác AEF, có \(C\in AE,B\in AF,I\in EF\) và AI, EB, FC đồng quy nên theo định lý Ceva, \(\dfrac{IF}{IE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)   (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{IF}{IE}\Leftrightarrow KF.IE=KE.IF\)

\(\dfrac{ }{ }\)

a: Xét ΔBKA vuông tại K và ΔBFC vuông tại F có 

\(\widehat{FBC}\) chung

Do đó: ΔBKA\(\sim\)ΔBFC

Suy ra: BK/BF=BA/BC

hay \(BK\cdot BC=BF\cdot BA\)

b: Xét ΔBKF và ΔBAC có

BK/BA=BF/BC

\(\widehat{KBF}\) chung

Do đó: ΔBKF\(\sim\)ΔBAC

a: Sửa đề:ΔBFC~ΔBKA

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại K

Xét ΔBKA vuông tại K và ΔBFC vuông tại F có

\(\hat{KBA}\) chung

Do đó: ΔBKA~ΔBFC
=>\(\frac{BK}{BF}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BK}{BA}=\frac{BF}{BC}\)

=>\(BK\cdot BC=BF\cdot BA\)

b: Xét ΔBKF và ΔBAC có

\(\frac{BK}{BA}=\frac{BF}{BC}\)

góc KBF chung

Do đó: ΔBKF~ΔBAC

a)  Xét  \(\Delta AFH\)và    \(\Delta ADB\)có:

        \(\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=90^0\)

       \(\widehat{BAD}\) chung

suy ra:  \(\Delta AFH~\Delta ADB\)(g.g)

b)    Xét   \(\Delta AFC\)và     \(\Delta AEB\)có:

            \(\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^0\)

           \(\widehat{BAC}\)   chung

suy ra:   \(\Delta AFC~\Delta AEB\)

c)   \(\Delta AFC~\Delta AEB\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\)

\(\Rightarrow\)\(AF.AB=AE.AC\)

d) \(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\)(cmt)    \(\Rightarrow\)\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

 Xét   \(\Delta AEF\) và    \(\Delta ABC\)có:

        \(\widehat{BAC}\)  chung

      \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)  (cmt)

suy ra:    \(\Delta AEF~\Delta ABC\)

Còn cau (e), (f) đâu bạn