a) Xét tứ giác AMDN, ta có:

^A = ^N = ^M = 90o (gt)

Vậy tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) *Xét △ABD, ta có:

K là trung điểm BD (gt)

I là trung điểm AD (gt)

⇒ KI là đường trung bình của △ABD.

⇒ KI // AB và KI = 12

AB. (1)

*Ta có:

DN ⊥ AC (gt)

AB ⊥ AC (△ABC vuông tại A)

⇒ DN // AB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI // DN

*Xét △v ABC, ta có:

BD = CD (gt)

⇒ AD là đường trung tuyến

⇒ AD = BD = 12

AC

⇒ △ABD cân tại D

Mà DM ⊥ AB

⇒ DM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

⇒ MA = MB

*Ta có:

MA = 12

AB (cmt)

KI = 12

AB (cmt)

⇒MA = KI

Mà MA = DN (AMDN là hình chữ nhật)

Nên KI = DN

*Ta có:

KI // DN (cmt)

KI = DN (cmt)

Vậy INDK là hình bình hành

c) *Ta có:

KI //AM (KI // AB)

DM ⊥ AM (gt)

⇒KI ⊥ DM

*Xét tứ giác DIMK, ta có:

KI ⊥ DM (cmt)

Vậy DIMK là hình thoi.

d) Xét hình chữ nhật AMDN, ta có:

MN, AD là hai đường chéo

Mà I là trung điểm AD (gt)

Nên I là trung điểm MN

Vậy M, N đối xứng với nhau qua I.

S D E C H = 22   c m 2 ;   S B D E F = 20   c m 2 ;   S D E F H = 12   c m 2

DECH là hình thang (vì có DE // CH);

BDEF là hình bình hành (vì có DE // BF và DE = BF)

DEFH là hình thang cân (vì có DE // HF và DF = HE = 1/2AC)

ΔHAB vuông tại H

mà HI là đường trung tuyến

nên IH=IA

ΔAHC vuông tại H

mà HK là đường trung tuyến

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có

KA=KH

AI=HI

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

=>\(\hat{KAI}=\hat{KHI}\)

=>\(\hat{KHI}=90^0\)

a: Xét ΔHAD vuông tại H có HA=HD

nên ΔHAD vuông cân tại H

=>\(\hat{HDA}=\hat{HAD}=45^0\)

Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{DCE}\) chung

Do đó: ΔCDE~ΔCAB

=>\(\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}\)

=>\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)

Xét ΔCDA và ΔCEB có

\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)

góc DCA chung

Do đó: ΔCDA~ΔCEB

=>\(\hat{CDA}=\hat{CEB}\)

mà \(\hat{CDA}+\hat{ADB}=180^0\) (hai góc kề bù)

và \(\hat{CEB}+\hat{AEB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AEB}=\hat{ADB}=45^0\)

=>ΔABE vuông cân tại A

=>AB=AE

b: ΔABE cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM⊥BE tại M

Xét ΔBMA vuông tại M và ΔBAE vuông tại A có

\(\hat{MBA}\) chung

Do đó: ΔBMA~ΔBAE

=>\(\frac{BM}{BA}=\frac{BA}{BE}\)

=>\(BM\cdot BE=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BM\cdot BE=BH\cdot BC\)

=>\(\frac{BM}{BC}=\frac{BH}{BE}\)

Xét ΔBMH và ΔBCE có

\(\frac{BM}{BC}=\frac{BH}{BE}\)

góc MBH chung

Do đó: ΔBMH~ΔBCE

=>\(\hat{BMH}=\hat{BCE}=\hat{HAB}\)

Gọi I là giao điểm của MB và AH

Xét ΔIMH và ΔIAB có

\(\hat{IMH}=\hat{IAB}\)

\(\hat{MIH}=\hat{AIB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIMH~ΔIAB

=>\(\hat{IHM}=\hat{IBA}=45^0\)

=>\(\hat{AHM}=45^0\)

Bài 1:

a: Xét ΔABC có AE/AB=AN/AC

nên EN//BC

=>EN//HM

Xét tứ giác AEMN có

NM//AE

NM=AE
Do đó: AEMN là hình bình hành

mà góc NAE=90 độ

nên AEMN là hình chữ nhật

=>AM=NE

Ta có: ΔHCA vuông tại H

mà HN là trung tuyến

nên HN=AN=CN=ME

Ta có: ΔHAB vuông tại H

mà HE là trung tuyến

nên HE=AE=BE

Xét tứ giác MHEN có

MH//EN

ME=HN

Do đó: MHEN là hình bình hành

b: Xét ΔNAE và ΔNHE có

NA=NH

AE=HE

NE chung

Do đó: ΔNAE=ΔNHE

=>góc NHE=90 độ

c: Xét ΔEAK vuông tại E và ΔEBM vuông tạiE có

EA=EB

góc EAK=góc EBM

Do đó: ΔEAK=ΔEBM

=>EK=EM

Xét tứ giác AKBM có

E là trung điểm chung của AB và KM

MA=MB

Do đó; AKBM là hìnhthoi

Bạn tự vẽ hình nhé!
a) Xét tam giác ADC và tam giác BEC có:

\(\widehat{C}\)chung

\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)(2 tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

=> Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (cgc) (đpcm)

b) Tam giác AHD vuông tại H (gt)

=> \(\widehat{BEC}=\widehat{ADC}=135^o\)

Nên \(\widehat{AEB}=45^o\)do đó tam giác ABE vuông tại A 

=> BE=\(AB\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

Nguồn: Đặng Thị Nhiên

c) Tam giác ABE vuông tại A nên tia AM là phân giác BAC

\(\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\)

Vì tam giác ABC đồng dạng tam giác DEC nên:

\(\frac{AB}{AC}=\frac{ED}{DC}=\frac{AH}{HC}=\frac{HD}{HC}\)(DE//AH)

Do đó: \(\frac{GB}{GC}=\frac{HD}{HC}\Rightarrow\frac{GB}{GB+GC}=\frac{HD}{HD+HC}\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{AH+HC}\left(đpcm\right)\)

Nguồn: Đặng Thị Nhiên