b: Xét tứ giác MNHQ có

K là trung điểm của MH

K là trung điểm của NQ

Do đó: MNHQ là hình bình hành

Suy ra: MQ=HN

a: Xét ΔMKN và ΔMKQ có

MK chung

KN=KQ

MN=MQ

Do đó: ΔMKN=ΔMKQ

Xét ΔKMQ và ΔKHN có

KM=KH

\(\hat{MKQ}=\hat{HKN}\) (hai góc đối đỉnh)

KQ=KN

Do đó: ΔKMQ=ΔKHN

b: ΔKMQ=ΔKHN

=>MQ=HN

ΔKMQ=ΔKHN

=>\(\hat{KMQ}=\hat{KHN}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên MQ//HN

c: Ta có: ΔMKN=ΔMKQ

=>\(\hat{MKN}=\hat{MKQ}\)

mà \(\hat{MKN}+\hat{MKQ}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{MKN}=\hat{MKQ}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>MH⊥NQ tại K

mà K là trung điểm của MH

nên NQ là đường trung trực của MH

d: Ta có: \(MI=IQ=\frac{MQ}{2}\)

\(NE=EH=\frac{NH}{2}\)

mà MQ=NH

nên MI=IQ=NE=EH

Xét ΔKMI và ΔKHE có

KM=KH

\(\hat{KMI}=\hat{KHE}\) (hai góc so le trong, MI//HE)

MI=HE

Do đó: ΔKMI=ΔKHE

=>\(\hat{MKI}=\hat{HKE}\)

mà \(\hat{MKI}+\hat{IKH}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{HKE}+\hat{IKH}=180^0\)

=>I,K,E thẳng hàng

Bài 1:

a: Xét ΔIBC và ΔINA có

IB=IN

\(\hat{BIC}=\hat{NIA}\) (hai góc đối đỉnh)

IC=IA

Do đó: ΔIBC=ΔINA

b: ΔIBC=ΔINA

=>\(\hat{IBC}=\hat{INA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//NA

d: Xét ΔKAM và ΔKBC có

KA=KB

\(\hat{AKM}=\hat{BKC}\) (hai góc đối đỉnh)

KM=KC

Do đó: ΔKAM=ΔKBC

=>\(\hat{KAM}=\hat{KBC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AM//BC

AM//BC

AN//BC

mà AM,AN có điểm chung là A

nên A,M,N thẳng hàng

BÀi 2:

a: Xét ΔMIN và ΔMID có

MI chung

IN=ID

MN=MD

Do đó; ΔMIN=ΔMID

b: ΔMIN=ΔMID

=>\(\hat{IMN}=\hat{IMD}\)

Xét ΔMNK và ΔMDK có

MN=MD

\(\hat{NMK}=\hat{DMK}\)

MK chung

Do đó: ΔMNK=ΔMDK

=>KN=KD

c: Ta có: ΔMNK=ΔMDK

=>\(\hat{MNK}=\hat{MDK}\)

mà \(\hat{MNK}+\hat{KNE}=180^0\) (hai góc kề bù)

và \(\hat{MDK}+\hat{KDQ}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{KNE}=\hat{KDQ}\)

Xét ΔKNE và ΔKDQ co

KN=KD

\(\hat{KNE}=\hat{KDQ}\)

NE=DQ

Do đó: ΔKNE=ΔKDQ

=>\(\hat{NKE}=\hat{DKQ}\)

mà \(\hat{DKQ}+\hat{DKN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{NKE}+\hat{DKN}=180^0\)

=>D,K,E thẳng hàng

M A N B C K E

Xét \(\Delta AMKvà\Delta BKCcó:\)

KA=KB

góc MKA=góc BKC

KM=KC

\(\Rightarrow\Delta AMK=\Delta BCK\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\)AM=BC                                                  (1)

\(\Rightarrow\)MA//BC (góc M so le trong với góc C)      (3)

Xét \(\Delta AENvà\Delta BECcó:\)

EA=EC

góc AEN=góc BEC

EN=EB

\(\Rightarrow\Delta AEN=\Delta CEB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\)NA=BC                                                (2)

\(\Rightarrow\)NA//BC (góc N so le trong với góc C)     (4)

Từ (1) và (2) có: M,A,N thẳng hàng 

Từ (3) và (4) có: AM=AN