a ) Xét ◇DENF có :

Góc N = Góc F = Ê = 90°

\(\Rightarrow\)◇DENF là hình chữ nhật

b ) Trong \(\Delta\)MNP có : ND là đường trung tuyến 

\(\Rightarrow\)ND = DP ( vì đường trung tuyến bằng nữa cạnh huyền )

Xét \(\Delta\)NDF và \(\Delta\)PDF có :

• ND = DP ( cmt )
• Góc NFD = Góc PFD ( = 90° )
• DF : cạnh chung

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)NDF = \(\Delta\)PDF ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\)NF = PF ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\)F là trung điểm NP

a) Xét tứ giác NEDF có +)  \(\widehat{ENF}=90^0\)(tam giác MNP vuông tại N)

+) \(\widehat{DFN}=90^0\)(DF vuông góc NP)

+)  \(\widehat{DEN}=90^0\)(DE vuông góc MN)

\(\Rightarrow\)tứ giác NEDF là hình chữ nhật

b) Xét \(\Delta DFN\)và \(\Delta DFP\)có:

   DF : cạnh chung

   DN = DP ( Do ND là trung tuyến của tam giác vuông MNP)

Do đó \(\Delta DFN\)\(=\Delta DFP\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow NF=PF\)

Suy ra F là trung điểm của NP (đpcm)

a: Ta có: Q và A đối xứng với nhau qua MN

nên MN là đường trung trực của QA

=>MN vuông góc với QA tại trung điểm của QA

Ta có: Q và B đối xứng với nhau qua MP

nên MP là đường trung trực của QB

=>MP vuông góc với QB tại trung điểm của QB

Xét tứ giác MRQS có 

\(\widehat{MRQ}=\widehat{MSQ}=\widehat{SMR}=90^0\)

Do đó: MRQS là hình chữ nhật

b: Xét ΔMNP có

Q là trung điểm của NP

QS//MN

Do đó: S là trung điểm của MP

Xét tứ giác MQPB có 

S là trung điểm của MP

S là trung điểm của QB

Do đó: MQPB là hình bình hành

mà QM=QP

nên MQPB là hình thoi

a: Xét ΔABC có

N,P lần lượt là trung điểm cua CB,CA

=>NP là đường trung bình của ΔABC

=>NP//AB và \(NP=\frac{AB}{2}\)

NP//AB

=>NP//AM

\(NP=\frac{AB}{2}\)

\(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

Do đó: NP=AM=MB

Xét tứ giác AMNP có

AM//NP

AM=NP

Do đó: AMNP là hình bình hành

Hình bình hành AMNP có \(\hat{MAP}=90^0\)

nên AMNP là hình chữ nhật

b: Sửa đề: EFIK là hình thoi

Xét ΔNPM có

I,F lần lượt là trung điểm của NP,NM

=>IF là đường trung bình của ΔNPM

=>IF//PM và \(IF=\frac{PM}{2}\)

Xét ΔMAP có

E,K lần lượt là trung điểm của AM,AP

=>EK là đường trung bình cua ΔMAP

=>EK//MP và \(EK=\frac{MP}{2}\)

Xét ΔAPN có

I,K lần lượt là trung điểm của PN.PA

=>IK là đường trung bình của ΔAPN

=>IK//AN và \(IK=\frac{AN}{2}\)

Ta có: EK//MP

IF//MP

Do đó: EK//IF

Ta có: \(EK=\frac{MP}{2}\)

\(IF=\frac{MP}{2}\)

Do đó: EK=IF

Ta có: \(IK=\frac{AN}{2}\)

\(IF=\frac{MP}{2}\)

mà MP=AN

nên IK=IF

Xét tứ giác EFIK có

FI//EK

FI=EK

Do đó: EFIK là hình bình hành

Hình bình hành EFIK có IK=IF
nên EFIK là hình thoi