a: H đối xứng I qua MN

=>MN là đường trung trực của HI

=>MN⊥HI tại D và D là trung điểm của HI

H đối xứng K qua MP

=>MP là đường trung trực của HK

=>MP⊥HK tại E và E là trung điểm của HK

Xét tứ giác MDHE có \(\hat{MDH}=\hat{MEH}=\hat{EMD}=90^0\)

nên MDHE là hình chữ nhật

b: Xét ΔMDH vuông tại D và ΔMDI vuông tại D có

MD chung

DH=DI

Do đó: ΔMDH=ΔMDI

=>\(\hat{HMD}=\hat{IMD}\)

=>MN là phân giác của góc HMI

=>\(\hat{HMI}=2\cdot\hat{HMN}\)

Xét ΔMEH vuông tại E và ΔMEK vuông tại E có

ME chung

EH=EK

Do đó: ΔMEH=ΔMEK

=>\(\hat{EMH}=\hat{EMK}\)

=>ME là phân giác của góc HMK

=>\(\hat{HMK}=2\cdot\hat{HMP}\)

\(\hat{KMI}=\hat{KMH}+\hat{HMI}\)

\(=2\cdot\left(\hat{NMH}+\hat{PMH}\right)=2\cdot\hat{NMP}=180^0\)

=>K,M,I thẳng hàng

mà MK=MI(=MH)

nên M là trung điểm của KI

=>K đối xứng I qua M

a: H đối xứng A qua MN

nên HA vuông góc với MN tại trung điểm của HA

=>MN là phân giác của góc AMH(1)

H đối xứng B qua MP

nên HB vuông góc với MP tại D và D là trung điểm của HB

=>MP là phân giác của góc HMB(2)

Xét tứ giác MCHD có

góc MCH=góc MDH=góc DMC=90 độ

nên MCHD là hình chữ nhật

b: Từ (1), (2) suy ra góc BMA=2*90=180 độ

=>B,M,A thẳng hàng

a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình gì?

Vì $I$ đối xứng với $M$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $MI$.

Suy ra: $D$ là trung điểm của $MI$ và $DM\perp AB$.

Tương tự, $K$ đối xứng với $M$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $MK$.

Suy ra: $E$ là trung điểm của $MK$ và $EM\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DM\parallel AC,\quad EM\parallel AB$.

Do $A,D\in AB$ nên: $AD\parallel EM$.

Do $A,E\in AC$ nên: $AE\parallel DM$.

Vậy tứ giác $ADME$ có hai cặp cạnh đối song song nên:

$ADME$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{DAE}=90^\circ$.

Suy ra: $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác $AMCK$ là hình gì?

Vì $AC$ là đường trung trực của $MK$ nên:

$AC\perp MK$ và $E$ là trung điểm của $MK$.

Trong tứ giác $AMCK$:

$AC$ vừa là đường chéo, vừa là đường trung trực của đường chéo $MK$.

Lại có: $AM=AK,\quad CM=CK$.

Suy ra: $AMCK$ là hình diều.

c) Chứng minh $I$ và $K$ đối xứng nhau qua $A$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=90^\circ$.

Do $I$ đối xứng của $M$ qua $AB$ và $K$ đối xứng của $M$ qua $AC$ nên:

$\widehat{IAB}=\widehat{MAB}$,

$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}$.

Suy ra: $\widehat{IAK}=180^\circ$.

Mặt khác: $AI=AM=AK$.

Do đó: $A$ là trung điểm của $IK$.

Vậy: I và K đối xứng nhau qua A.

d) Nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Khi đó: $AB=AC$.

Suy ra: $DM=EM$

Mà $ADME$ là hình chữ nhật nên có hai cạnh kề bằng nhau.

Vậy: $ADME$ là hình vuông

Đồng thời: $AM=MC$ (trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông cân), lại có: $AM=AK,\ MC=CK$.

Suy ra: $AM=MC=CK=KA$.

Vậy: $\boxed{AMCK \text{ là hình thoi}}$.

a) Chứng minh tứ giác $ADHK$ là hình chữ nhật.

Vì $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DH$.

Suy ra: $AD=AH$ và $AD\perp DH$.

Mặt khác $K$ là giao điểm của $AC$ và $EH$, mà $E$ đối xứng của $H$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $EH$.

Suy ra: $AK=AH$ và $AK\perp EH$.

Do $AC\perp AB$ nên:

$DH\parallel AC$ và $HK\parallel AB$.

Suy ra: $DH\parallel AK,\quad AD\parallel HK$.

Vậy $ADHK$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{ADH}=90^\circ$.

Do đó: $ADHK$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $D,E,A$ thẳng hàng.

Ta có: $AD=AH=AE$.

Lại có: $\widehat{DAH}=\widehat{HAE}$.

Mà $AB\perp AC$ nên: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=180^\circ$.

Suy ra: $\widehat{DAE}=180^\circ$.

Vậy: $D,A,E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $AM\perp IK$.

Vì $ADHK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo:

$AH$ và $DK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác: $I=AD\cap BH$.

Xét tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $MA=MB=MC$.

Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Từ các tính chất đối xứng qua $AB$ và $AC$, suy ra:

$I$ và $K$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $AM$.

Do đó: $AM$ là đường trung trực của $IK$.

Suy ra: $AM\perp IK$.

a: Ta có: Q và A đối xứng với nhau qua MN

nên MN là đường trung trực của QA

=>MN vuông góc với QA tại trung điểm của QA

Ta có: Q và B đối xứng với nhau qua MP

nên MP là đường trung trực của QB

=>MP vuông góc với QB tại trung điểm của QB

Xét tứ giác MRQS có 

\(\widehat{MRQ}=\widehat{MSQ}=\widehat{SMR}=90^0\)

Do đó: MRQS là hình chữ nhật

b: Xét ΔMNP có

Q là trung điểm của NP

QS//MN

Do đó: S là trung điểm của MP

Xét tứ giác MQPB có 

S là trung điểm của MP

S là trung điểm của QB

Do đó: MQPB là hình bình hành

mà QM=QP

nên MQPB là hình thoi