Xét ΔPMN có PH là phân giác

nên MH/MP=NH/NP

=>NH/6=2/4=1/2

hay NH=3(cm)

H I K ? M N 4m 3m 9m

M N P Q 8 12 10

Xét tam giác MNP có NQ là tia phân giác ^MNP nên 

\(\frac{NM}{NP}=\frac{MQ}{QP}\)mà \(MQ=MP-QP=5-QP\)(1) 

hay \(\frac{8}{12}=\frac{5-QP}{QP}\Rightarrow8QP=60-12QP\)

\(\Leftrightarrow20QP=60\Leftrightarrow QP=3\)cm 

suy ra (1) \(MQ=5-3=2\)cm 

Vậy QP = 3 cm ; MQ = 2cm 

Ta có NQ là ta phân giác 

\(\Rightarrow\)MQ=PQ mà MQ+PQ=MP =10 cm

\(\Rightarrow\)MQ=PQ=10:2=5(CM)

Vậy ...........

1: NI=NM

=>N là trung điểm của MI

=>\(MI=2\cdot MN=2\cdot4=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

MP=PK

=>P là trung điểm cua MK

=>\(MK=2\cdot MP=2\cdot6=12\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔMIK có

N,P lần lượt là trung điểm của MI,MK

=>NP là đường trung bình của ΔMIK

=>NP//IK và \(NP=\frac{IK}{2}\)

=>\(IK=2\cdot NP=2\cdot8=16\left(\operatorname{cm}\right)\)

2: Xét ΔMIS có

N,O lần lượt là trung điểm của MN,MS

=>NO là đường trung bình của ΔMIS

=>\(NO=\frac{IS}{2}\) và NO//IS

NO//IS

=>NP//IS

NP//SI

NP//IK

mà SI,IK có điểm chung là I

nên I,S,K thẳng hàng

3:Xét ΔMNP và ΔMIK có

\(\frac{MN}{MI}=\frac{MP}{MK}\left(=\frac12\right)\)

góc NMP chung

Do đó: ΔMNP~ΔMIK

=>\(\frac{S_{MNP}}{S_{MIK}}=\left(\frac{MN}{MI}\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{MIK}=4\cdot S_{MNP}\)

a) Xét ΔMNP và ΔHMP có:

Góc MPN chung

Góc  NMP = góc MHP (= \(90^o\))

⇒ ΔMNP ~ ΔHMP (g.g)

b) Áp dụng định lí Pytago vào Δ vuông MNP:

\(MP^2=NP^2-MN^2\)

\(MP^2=10^2-6^2\)

\(MP^2=64\)

⇒ MP = 8

Xét ΔMNP có ND là phân giác ⇒ \(\dfrac{MD}{MN}=\dfrac{DP}{NP}\) 

hay \(\dfrac{MD}{6}=\dfrac{DP}{10}\) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\dfrac{MD}{6}=\dfrac{DP}{10}=\dfrac{MD+DP}{6+10}=\dfrac{MP}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

⇒ \(\dfrac{DP}{10}=\dfrac{1}{2}\) ⇒ DP = \(\dfrac{10}{2}\) = 5