a) Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

Vì $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DM$.

Suy ra:$E$ là trung điểm của $DM$ và $DE\perp AB$.

Tương tự, $N$ đối xứng với $D$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $DN$.

Suy ra: $F$ là trung điểm của $DN$ và $DF\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DE\parallel AC,\quad DF\parallel AB$.

Lại có: $AE\subset AB,\quad AF\subset AC$.

Suy ra: $AE\parallel DF,\quad AF\parallel DE$.

Vậy $AEDF$ là hình bình hành.

Mặt khác: $\widehat{EAF}=90^\circ$.

Do đó: $\boxed{AEDF \text{ là hình chữ nhật}}$.

b) Chứng minh tứ giác $ADBM$ là hình thoi.

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ trong tam giác vuông $ABC$ nên: $DA=DB=DC$.

Lại có $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên: $AD=AM,\quad BD=BM$.

Suy ra: $AD=DB=BM=MA$.

Vậy: $ADBM$ là hình thoi.

c) Chứng minh $M$ đối xứng với $N$ qua $A$.

Do $M$ là ảnh của $D$ qua $AB$ nên: $AM=AD$.

Do $N$ là ảnh của $D$ qua $AC$ nên: $AN=AD$.

Suy ra: $AM=AN$.

Mặt khác, vì $AB\perp AC$ nên hai phép đối xứng qua $AB$ và $AC$ biến $D$ thành $M$ và $N$ đối xứng nhau qua điểm $A$.

Hay: $A$ là trung điểm của $MN$.

Vậy: $M$ và $N$ đối xứng nhau qua $A$.

d) Điều kiện để $AEDF$ là hình vuông.

Vì $AEDF$ là hình chữ nhật nên để là hình vuông cần: $AE=AF$.

Mà: $AE=\dfrac{DM}{2},\quad AF=\dfrac{DN}{2}$.

Do đó: $DM=DN$.

Vì $M,N$ lần lượt là ảnh của $D$ qua $AB,AC$ nên:

$DM=2\,d(D,AB),\quad DN=2\,d(D,AC)$.

Suy ra: $d(D,AB)=d(D,AC)$.

Tức là $D$ nằm trên phân giác góc $A$.

Vì $\widehat{A}=90^\circ$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi: $AB=AC$.

Hay tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Vậy: Nếu AB=AC thì AEDF là hình vuông.

bài này mình chưa học nhưng nó tương tự như bài này dưới đây mình đã học

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF // BC, EF = 1/2  BC.

Xét tam giác BDC có: HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG // BC, HG =  1/2  BC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

a) EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AD ⊥ BC

b) EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AD = BC

c)  EFGH là hình vuông ⇔ AD ⊥ BC và AD = BC

a) Xét tam giác QMN có :

A là trung điểm của MN

B là trung điểm của MQ

=) AB là đường trung bình của tam giác QMN

=) AB // MQ Và AB=\(\frac{1}{2}\)MQ (*)

Xét tam giác QPN có :

C là trung điểm của QP

D là trung điểm của NP

=) CD là đường trung bình của tam giác QPN

=) CD // QN Và CD=\(\frac{1}{2}\)QN (**)

Từ (*) và (**) =) Tứ giác ABCD là hình bình hành  (1)

Xét tam giác MQP có :

B là trung điểm của MQ

C là trung điểm của QP

=) BC là đường trung bình của tam giác MQP

=) BC // MP

Do MNPQ là hình thoi =) MP\(\perp\)NQ

Mà BC // MP và AB // NQ

=) BC\(\perp\)AB   (2)

Từ (1) và (2) =) ABCD là hình chữ nhật

b) Ta có : MQ=QP

Do B là trung điểm của MQ =) MB=BQ=\(\frac{MQ}{2}\)

Do C là trung điểm của QP =) QC=CP=\(\frac{QP}{2}\)

=) QB=QC

Do MNPQ là hình thoi =) QM là đường phân giác \(\widehat{MQP}\)

=) \(\widehat{MQN}\)=\(\widehat{NQP}\)=\(\frac{\widehat{MQP}}{2}\)

Xét tam giác QMN có:

MQ=MQ và \(\widehat{QMN}\)=60⁰

=) QMN là tam giác đều

Xét tam giác MQN có :

NQ là đường trung tuyến=) NQ là đường phân giác của \(\widehat{MNQ}\)

=) \(\widehat{MNB}\)=\(\widehat{BNQ}\)=\(\frac{\widehat{MNQ}}{2}\)=\(\frac{60^0}{2}\)= 30⁰

Xét tam giác QBN và tam giác QCN có :

QB=QC ( chứng minh trên )

\(\widehat{BQN}\)=\(\widehat{CQN}\) ( chứng minh trên )

QN là cạch chung

=) tam giác QBN = tam giác QCN (c-g-c)

=)\(\widehat{BNQ}\)=\(\widehat{QNC}\) =30⁰ (2 góc tương ứng ) và BN=CN ( 2 cạch tương ứng )

=) Tam giác BNC là tam giác cân tại N (3)

Ta có : \(\widehat{BNQ}\)+\(\widehat{QNC}\)=\(\widehat{BNC}\)

       =) 30⁰ +30⁰ =\(\widehat{BNC}\)

      =) \(\widehat{BNC}\)=60⁰  (4)

Từ (3) và (4) =) Tam giác BNC là tam giác đều

a: Xét tứ giác MDNE có

I là trung điểm chung của MN và DE

góc MDN=90 độ

Do đó: MDNE là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác MNFP có

D là trung điểm chung của MF và NP

MN=MP

Do đó: MNFP là hình thoi

a: Xét tứ giác MNPQ có 

A là trung điểm của MP

A là trung điểm của NQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

b: Xét tứ giác MPQI có 

MI//QP

MI=QP

Do đó: MPQI là hình bình hành

mà \(\widehat{PMI}=90^0\)

nên MPQI là hình chữ nhật

c: Xét ΔNIB có 

M là trung điểm của IN

MK//IB

Do đó: K là trung điểm của NB

=>NK=KB(1)

Xét ΔPMK có

A là trung điểm của MP

AB//MK

Do đó: B là trung điểm của PK

Suy ra: PB=BK(2)

Từ (1) và (2) suy ra KP=2KN

a, Vì \(\widehat{KMH}=\widehat{KHD}=\widehat{KMD}=90^0\) nên MHDK là hcn

b, Vì \(PD=DN;DH//PM\left(\perp MN\right)\) nên \(MH=HN\)

Vì \(PD=DN;DK//MN\left(\perp PM\right)\) nên \(PK=KM\)

Tứ giác MDNE có H là trung điểm MN;DE và \(MN\perp DE\) tại H nên là hthoi

Tứ giác MDPF có K là trung điểm PM;DF và \(MP\perp DF\) tại K nên là hthoi

c, Vì MDNE và MDPF là hình thoi nên MF//PD;ME//DN

Mà PD trùng PN nên ME trùng MF hay M;F;E thẳng hàng

Vì MDNE và MDPF là hình thoi nên \(MF=PD;ME=DN\)

Mà \(PD=DN\) nên \(MF=ME\)

Vậy E đx F qua M