KG là đường phân giác của M K P ^ => M G G P = M K K P (1)

KJ là đường phân giác của  M K N ^ =>  M J J N = M K K N (2)

Chứng minh được: KN = KP (3)

Từ (1); (2); (3) =>  M G G P = M J J N => Đpcm

ΔMEF~ΔMPN

=>\(\hat{MFE}=\hat{MNP}\)

ΔMNP vuông tại M

mà MO là đường trung tuyến

nên OM=OP

=>ΔOMP cân tại O

=>\(\hat{OMP}=\hat{OPM}\)

\(\hat{OMP}+\hat{MFE}=\hat{MPN}+\hat{MNP}=90^0\)

=>MO⊥EF

ΔMFE~ΔMNP

=>\(\hat{MFE}=\hat{MNP}\)

ΔMNP vuông tại M

mà MO là đường trung tuyến

nên OM=OP

=>ΔOMP cân tại O

=>\(\hat{OMP}=\hat{OPM}\)

\(\hat{MFE}+\hat{OMP}=\hat{MNP}+\hat{MPN}=90^0\)

=>MO⊥EF

ΔMFE~ΔMNP

=>\(\hat{MFE}=\hat{MNP}\)

ΔMNP vuông tại M

mà MO là đường trung tuyến

nên OM=OP

=>ΔOMP cân tại O

=>\(\hat{OMP}=\hat{OPM}\)

\(\hat{MFE}+\hat{OMP}=\hat{MNP}+\hat{MPN}=90^0\)

=>MO⊥EF

a: Xét ΔMIN vuông tại I có IE là đường cao ứng với cạnh huyền MN

nên \(ME\cdot MN=MI^2\left(1\right)\)

Xét ΔMIP vuông tại I có IF là đường cao ứng với cạnh huyền MP

nên \(MF\cdot MP=MI^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(ME\cdot MN=MF\cdot MP\)

hay \(\dfrac{ME}{MP}=\dfrac{MF}{MN}\)

Xét ΔMEF vuông tại M và ΔMPN vuông tại M có 

\(\dfrac{ME}{MP}=\dfrac{MF}{MN}\)

Do đó: ΔMEF\(\sim\)ΔMPN

2: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMHN vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền MN, ta được:

\(MD\cdot MN=MH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMHP vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền MP, ta được:

\(ME\cdot MP=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MD\cdot MN=ME\cdot MP\)