Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
góc FHB=góc EHC
=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC
=>HF*HC=HE*HB
b: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
mà góc AFE+góc BFE=180 độ
nên góc AFE=góc ACB
c: Xét ΔKFB và ΔKCE có
góc KFB=góc KCE(=góc AFE)
góc K chung
=>ΔKFB đồng dạng với ΔKCE
=>KF/KC=KB/KE
=>KF*KE=KB*KC
a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
góc FHB=góc EHC
=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC
=>HF*HC=HE*HB
b: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
mà góc AFE+góc BFE=180 độ
nên góc AFE=góc ACB
c: Xét ΔKFB và ΔKCE có
góc KFB=góc KCE(=góc AFE)
góc K chung
=>ΔKFB đồng dạng với ΔKCE
=>KF/KC=KB/KE
=>KF*KE=KB*KC
A. Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$
Ta có tam giác $ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$.
$EF$ là đường nối hai chân cao từ $B$ và $C$. Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ với $BC$.
Theo tính chất hình học của trực tâm: $BCEF$ nội tiếp, suy ra
$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.
B. Chứng minh $MN \perp EF$, với $N$ là trung điểm $AH$
Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.
Theo tính chất trực tâm và đường trung bình: đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.
Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.
a: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có
\(\hat{FAH}\) chung
Do đó: ΔAFH~ΔADB
b; Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\hat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
c: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
d: Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
góc EAF chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
e: ΔAEF~ΔABC
=>\(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)
mà \(\hat{AFE}=\hat{MFB}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{MFB}=\hat{MCE}\)
Xét ΔMFB và ΔMCE có
\(\hat{MFB}=\hat{MCE}\)
góc FMB chung
Do đó: ΔMFB~ΔMCE
=>\(\frac{MF}{MC}=\frac{MB}{ME}\)
=>\(MF\cdot ME=MB\cdot MC\)
f: BC=BD+CD=3+5=8(cm)
ΔABC có AD là đường cao
nên \(\frac12\cdot AD\cdot BC=S_{ABC}\)
=>\(AD\cdot\frac82=24\)
=>AD=6(cm)
Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có
\(\hat{DBH}=\hat{DAC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
Do đó: ΔDBH~ΔDAC
=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DH}{DC}\)
=>\(DB\cdot DC=DH\cdot DA\)
=>\(DH\cdot6=3\cdot5=15\)
=>DH=2,5(cm)
Diện tích tam giác BHC là:
\(S_{HBC}=\frac12\cdot HD\cdot BC=\frac12\cdot2,5\cdot8=4\cdot2,5=10\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Xét ΔCIH vuông tại I và ΔCFN vuông tại F có
\(\hat{ICH}\) chung
Do đó: ΔCIH~ΔCFN
=>\(\frac{CI}{CF}=\frac{CH}{CN}\)
=>\(\frac{CI}{CH}=\frac{CF}{CN}\)
Xét ΔCIF và ΔCHN có
\(\frac{CI}{CH}=\frac{CF}{CN}\)
góc ICF chung
Do đó: ΔCIF~ΔCHN
=>\(\hat{CFI}=\hat{CNH}\) (1)
Xét ΔHFN vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
\(\hat{FHN}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFN~ΔHEC
=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HN}{HC}\)
=>\(\frac{HF}{HN}=\frac{HE}{HC}\)
Xét ΔHFE và ΔHNC có
\(\frac{HF}{HN}=\frac{HE}{HC}\)
góc FHE=góc NHC
Do đó: ΔHFE~ΔHNC
=>\(\hat{HFE}=\hat{HNC}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{EFC}=\hat{IFC}\)
=>FH là phân giác của góc EFI
Xét ΔFAI có FH là phân giác
nên \(\frac{AH}{HI}=\frac{FA}{FI}\)