Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
góc FHB=góc EHC
=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC
=>HF*HC=HE*HB
b: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
mà góc AFE+góc BFE=180 độ
nên góc AFE=góc ACB
c: Xét ΔKFB và ΔKCE có
góc KFB=góc KCE(=góc AFE)
góc K chung
=>ΔKFB đồng dạng với ΔKCE
=>KF/KC=KB/KE
=>KF*KE=KB*KC
a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
góc FHB=góc EHC
=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC
=>HF*HC=HE*HB
b: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
mà góc AFE+góc BFE=180 độ
nên góc AFE=góc ACB
c: Xét ΔKFB và ΔKCE có
góc KFB=góc KCE(=góc AFE)
góc K chung
=>ΔKFB đồng dạng với ΔKCE
=>KF/KC=KB/KE
=>KF*KE=KB*KC
A. Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$
Ta có tam giác $ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$.
$EF$ là đường nối hai chân cao từ $B$ và $C$. Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ với $BC$.
Theo tính chất hình học của trực tâm: $BCEF$ nội tiếp, suy ra
$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.
B. Chứng minh $MN \perp EF$, với $N$ là trung điểm $AH$
Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.
Theo tính chất trực tâm và đường trung bình: đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.
Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.
Xét ΔCIH vuông tại I và ΔCFN vuông tại F có
\(\hat{ICH}\) chung
Do đó: ΔCIH~ΔCFN
=>\(\frac{CI}{CF}=\frac{CH}{CN}\)
=>\(\frac{CI}{CH}=\frac{CF}{CN}\)
Xét ΔCIF và ΔCHN có
\(\frac{CI}{CH}=\frac{CF}{CN}\)
góc ICF chung
Do đó: ΔCIF~ΔCHN
=>\(\hat{CFI}=\hat{CNH}\) (1)
Xét ΔHFN vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
\(\hat{FHN}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFN~ΔHEC
=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HN}{HC}\)
=>\(\frac{HF}{HN}=\frac{HE}{HC}\)
Xét ΔHFE và ΔHNC có
\(\frac{HF}{HN}=\frac{HE}{HC}\)
góc FHE=góc NHC
Do đó: ΔHFE~ΔHNC
=>\(\hat{HFE}=\hat{HNC}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{EFC}=\hat{IFC}\)
=>FH là phân giác của góc EFI
Xét ΔFAI có FH là phân giác
nên \(\frac{AH}{HI}=\frac{FA}{FI}\)