Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H, đường thẳng EF
cắt BC tại S. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt
đường thẳng qua C vuông góc với BC tại điểm P.
1. Chứng minh: SM.SD = SB.SC.
2. Chứng minh: SP vuông góc với AM.
3. Chứng minh: S, H, P thẳng hàng.
 

Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴መ > 90௢). Gọi 𝐸 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝐵𝐶, 𝐹 là hình
chiếu vuông góc của 𝐶 trên 𝐴𝐷.
a) Tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝐹 là hình gì? Vì sao?
b) 𝐵𝐷 cắt 𝐴𝐸 tại 𝐻, cắt 𝐶𝐹 tại 𝐾. Chứng minh rằng 𝐴𝐾 = 𝐶𝐻.
c) Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷, 𝐽 là giao điểm của 𝐶𝐻 và 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝐸𝐼 ⊥ 𝐸𝐽
 

Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴መ > 90௢). Gọi 𝐸 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝐵𝐶, 𝐹 là hình
chiếu vuông góc của 𝐶 trên 𝐴𝐷.
a) Tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝐹 là hình gì? Vì sao?
b) 𝐵𝐷 cắt 𝐴𝐸 tại 𝐻, cắt 𝐶𝐹 tại 𝐾. Chứng minh rằng 𝐴𝐾 = 𝐶𝐻.
c) Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷, 𝐽 là giao điểm của 𝐶𝐻 và 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝐸𝐼 ⊥ 𝐸𝐽
 

Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Vẽ IN vuông
góc với AB tại N, IM vuông góc với AC tại M.
a) Cho AB = 5cm, BC = 13cm. Tính diện tích tam giác ABC
b) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
c) Trên tia đối của tia NI lấy điểm E sao cho NE = NI. Chứng minh tứ giác AIBE là hình thoi.
d) Lấy F đối xứng với I qua M. Chứng minh E, A, F thẳng hàng.

Cho tam giác ABC có AB=AC và điểm K bất kì nằm giữa hai điểm A và B . Từ K vẽ đường
thẳng song song AC cắt BC tại E . Gọi M là trung điểm của EC .
a) Chứng minh KB=KE 
b) Đường thẳng KM cắt đường thẳng AC tại N . Chứng minh: KC//EN  và KB=NC  .
c) Chứng minh AK+AN không đổi khi K thay đổi.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Điểm D thuộc cạnh BC. Các hình chiếu của D trên AB, AC theo thứ tự là E, F.
a) Chứng minh rằng DEAF là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của DEAF.
Chứng minh HO = 1/2 EF, từ đó suy ra tam giác EHF vuông
 

Bài 3: (3,5 điểm). Cho tam giác ABC đều. Gọi K là điểm thuộc cạnh AB sao cho KA=2KB  . Lấy điểm O bất kì
nằm giữa K và C (O khác K và C). Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm OA, OB, BC và AC.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Trên nửa mặt phẳng bờ OB không chứa điểm C vẽ tam giác đều OBE. Trên nửa mặt phẳng bờ OC
không chứa điểm B vẽ tam giác đều OCF. Chứng minh tứ giác AEOF là hình bình hành
 

Cho tứ giác ABCD có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I. M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Cho biết IE IF   0. Chứng minh:
AD BC  .
 

Cho ABC có AD là phân giác. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C
trên tia AD.
a) Chứng minh ABH đồng dạng với ACK; BDH đồng dạng với CDK.
b) Chứng minh AH.DK AK.DH 
c) Tính độ dài AH biết BD 4cm,  CD 6cm,  AK 12cm.