Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì BC có độ dài lớn nhất nên đề bài tương đương với: \(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)(Định lí Pythagoras đảo)
Lập phương 2 vế: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)
Ôn lại các hệ thức lượng cho tam giác vuông vì sắp tới mình sẽ dùng 1 chuỗi hệ thức đấy:
+Tam giác AHD vuông tại H, đường cao DH: \(AH^2=AD.AB,BH^2=BD.BA\)
+Tam giác AHC vuông tại H, đường cao EH: \(AH^2=AC.AE,CH^2=CA.CE\)
+Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH: \(AH^2=HB.HC,AH.BC=AB.AC,BC^2=AB^2+AC^2\)
$ ADHE là hình chữ nhật nên AD=HE
$ Tam giác AHE vuông tại H nên \(AH^2=AE^2+HE^2\)
Ok, giờ triển thoi: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)
\(\Leftrightarrow\left(AB-AD\right)^2+\left(AC-AE\right)^2+3\sqrt[3]{\left(BD.CE\right)^2}.\sqrt[3]{BC^2}=BC^2\)
\(\Leftrightarrow\left(AB^2+AC^2\right)+\left(AD^2+AE^2\right)-2\left(AB.AD+AC.AE\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2+\left(AE^2+HE^2\right)-2\left(AH^2+AH^2\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)
\(\Leftrightarrow AH^2-4AH^2-3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=3AH^2\)
\(\Leftrightarrow BD.CE.BC=AH^3\)
\(\Leftrightarrow BD.CE.BC.AH=AH^4\)
\(\Leftrightarrow\left(BD.BA\right)\left(CE.CA\right)=AH^4\)
\(\Leftrightarrow BH^2.CH^2=AH^4\Leftrightarrow BH.CH=AH^2\)---> Luôn đúng
Vậy giả thiết đúng.
(Bài dài giải mệt vler !!)
A C B M H N P D E I K
Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, đừng nhìn lâu kẻo hỏng mắt
Bài này dựng hình thì dễ, nó khá cơ bản , nhưng đoạn tính toán thì quên kiến thức lớp 9 nên chẳng biết phải tính thế nào cho phù hợp.
Gọi D, E lần lượt là 2 điểm đối xứng với M qua AB và AC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=DP\\MN=NE\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MN+NP+PN=DP+PN+NE\ge DE\) (đường thẳng nối giữa 2 điểm thì luôn không dài hơn đường zíc zắc)
Mà \(DE\) cố định \(\Rightarrow\) chu vi \(MPN_{min}=DE\) khi P trùng K, N trùng I
Việc bây giờ là tìm độ dài đoạn DE, nhìn hình nản quá
Gọi giao của MD và AB là R, giao ME và AC là S, ko kí hiệu vào hình nữa sợ thành mới bòng bong luôn, do D và M đối xứng, M và E đối xứng \(\Rightarrow\) R là trung điểm MD, S là trung điểm ME \(\Rightarrow RS\) là đường trung bình \(\Delta MDE\Rightarrow RS=\frac{1}{2}DE\)
Ta có \(MH=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{8}-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MC=\frac{a\left(2+\sqrt{2}\right)}{4}\\MB=\frac{a\left(2-\sqrt{2}\right)}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MR=MB.sin\widehat{B}=\frac{a\left(2-\sqrt{2}\right)}{4}.sin60^0=\frac{a\left(-\sqrt{6}+2\sqrt{3}\right)}{8}\\MS=MC.sin\widehat{C}=\frac{a\left(\sqrt{6}+2\sqrt{3}\right)}{8}\end{matrix}\right.\)
Tứ giác ARMS nội tiếp (R và S cùng nhìn AM dưới 1 vuông)
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{SMR}=180^0\Rightarrow\widehat{M}=120^0\)
Áp dụng định lý hàm cos (kiến thức lớp 10, căn bản đến đây ko biết xử lý kiểu lớp 9) cho tam giác MRS:
\(RS=\sqrt{MS^2+MR^2-2MS.MR.cos\widehat{M}}=\frac{a\sqrt{42}}{8}\) (bỏ a ra và ném số vào casio bấm thôi)
\(\Rightarrow DE=\frac{a\sqrt{42}}{4}\)
a: Xét tứ giác AHMK có \(\widehat{AHM}+\widehat{AKM}=90^0+90^0=180^0\)
nên AHMK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM
Tâm là trung điểm của AM
b: Xét (O) có
\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(1\right)\)
Ta có: AKMH là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{KAM}=\widehat{KHM}\)
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{KHM}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{BCD}=\widehat{KHM}\)
Xét (O) có
\(\widehat{DAC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC
\(\widehat{DBC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC
Do đó: \(\widehat{DAC}=\widehat{DBC}\left(3\right)\)
Ta có: AHMK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MAH}=\widehat{MKH}=\widehat{DAC}\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(\widehat{DBC}=\widehat{MKH}\)
Xét ΔMKH và ΔDBC có
\(\widehat{MKH}=\widehat{DBC}\)
\(\widehat{MHK}=\widehat{DCB}\)
Do đó: ΔMKH~ΔDBC
Có ΔABC vuông ở A có AB = 1.875, AC = 2.5 nên dễ tính đc AH = 1.5.
ΔAHM vuông ở H, AH = 1.5, HM = √7/2 nên tính đc AM = 2
Có ΔABC vuông ở A có AB = 1.875, AC = 2.5 nên dễ tính đc AH = 1.5.
ΔAHM vuông ở H, AH = 1.5, HM = 7√2 nên tính đc AM = 2
Gọi E,F thứ tự là điểm đối xứng của M qua AB,AC
Khi đó: PE=PM,MN=NF
Chu vi tam giác MNP: \(EP+PN+NF\ge EF\)
Ta có: \(AE=AM=AF;E\widehat{A}F=120^o\)
Kẻ AH vuông góc EF
\(EF=2MH=HE.sin60^o=2\frac{a\sqrt{14}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{42}}{4}\)
GTNN chu vi tam giác MNP là \(\frac{a\sqrt{42}}{4}\) khi N,P là giao điểm của EF với AB,AC
Phan Việt Quang THẦY NÀO DẠY bạn \(S_{MNP}\) là chu vi thế .