Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn C.
Vì 
nên
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Tam giác ABM đều nên 
Theo định lý Pitago ta có:
Suy ra
\(T=\overrightarrow{GA}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}\)
\(=0\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)
\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CG}\)
\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}\)
Qua C, lấy K sao cho \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{GA}\)
=>CK//GA và CK=GA
Xét ΔABC đều có G là trọng tâm
nên AG⊥BC
=>CK⊥CB
Xét ΔABC đều có G là trọng tâm
nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
=>GA=GB=GC
Xét (G) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
nên \(\hat{BGC}=2\cdot\hat{BAC}=120^0\)
Xét tứ giác AGCK có
AG//CK
AG=CK
Do đó: AGCK là hình bình hành
Hình bình hành AGCK có AG=GC
nên AGCK là hình thoi
=>CA là phân giác của góc GCK
=>\(\hat{GCK}=2\cdot\hat{GCA}=60^0\)
Xét ΔGCK có GC=KC và \(\hat{GCK}=60^0\)
nên ΔGCK đều
=>\(\hat{KGC}=60^0\)
\(\hat{BGC}+\hat{KGC}=120^0+60^0=180^0\)
=>B,G,K thẳng hàng
Trên tia đối của tia GC, lấy E sao cho GC=GE
=>G là trung điểm của EC
Ta có: EC=2GC
BK=2GB
mà GC=GB
nên EC=BK
Xét tứ giác BCKE có
G là trung điểm chung của BK và CE
=>BCKE là hình bình hành
Hình bình hành BCKE có \(\hat{BCK}=90^0\)
nên BCKE là hình chữ nhật
=>\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CE}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)
=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)
* cái này là công thức rồi bn o cần chứng minh đâu
công thức : cho tam giác ABC ; nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Gọi M trung điểm BC
G đối xứng D qua M
=> tứ giác BGCD là hình bình hành
=> GD=2.GM (Hình bình hành có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mà AG = 2.GM ( \(\dfrac{AG}{GM}=\dfrac{2}{1},GA=\dfrac{2}{3}AM\) )
⇒ AG=GD
Mặt khác, G ϵ AD
⇒\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\)
Ta có \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\) (Quy tắc hình bình hành)
Nên \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\) = \(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}\)
Mà \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\) (cmt)
⇒\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{O}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow-2\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}\right)=GA^2+GB^2+GC^2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}m_a^2+\frac{2}{3}m_b^2+\frac{2}{3}m_c^2\right)\)
\(=-\frac{1}{6}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)
Hình như đề bài sai dấu?