a: ΔDEF vuông tại D

=>\(DE^2+DF^2=EF^2\)

=>\(EF^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>EF=10(cm)

Xét ΔEDF có EK là phân giác

nên \(\frac{KD}{KF}=\frac{ED}{EF}=\frac{6}{10}=\frac35\)

=>\(\frac{KD}{3}=\frac{KF}{5}\)

mà KD+KF=DF=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{KD}{3}=\frac{KF}{5}=\frac{KD+KF}{3+5}=\frac88=1\)

=>\(KD=3\cdot1=3\left(\operatorname{cm}\right);KF=5\cdot1=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔEDK vuông tại D và ΔEHI vuông tại H có

\(\hat{DEK}=\hat{HEI}\)

DO đó: ΔEDK~ΔEHI

c: ΔEDK~ΔEHI

=>\(\frac{ED}{EH}=\frac{EK}{EI}\)

=>\(ED\cdot EI=EH\cdot EK\)

???????????????????????????????????????????????????

bạn vẽ hình ra đi

Sửa đề: IK//DH

a: Xét ΔDEF vuông tại D và ΔHED vuông tại H có

góc E chung

=>ΔDEF đồng dạng với ΔHED
=>DF/DH=EF/DE=DE/HE

=>EH*EF=ED^2

b: Xét ΔFIK vuông tại I và ΔFDE vuông tại D có

góc F chung

=>ΔFIK đồng dạng với ΔFDE

=>FI/FD=FK/FE

=>FI*FE=FK*FD

c: góc KDE+góc KIE=180 độ

=>KDEI nội tiếp

=>góc DKE=góc DIE và góc DEK=góc DIK

mà góc DIE=góc DIK

nên góc DKE=góc DEK

=>ΔDEK cân tại D

sửa đề : gọi I là giao điểm của AB và DF và điểm K là giao của AF và QI

ta có:

AB⊥EF=>AI⊥EF

FQ⊥EF

=> AI//QF

do M ∈AI và N ∈QF

=> AM//NF và AM//QN

MI//QN và MI//NF

xét tam giác DQF có AI//QF

=> \(\frac{DA}{DQ}=\frac{DI}{DF}\left(1\right)\)

xét tam giác DQN có AM//QN

=> \(\frac{AM}{QN}=\frac{DA}{DQ}\left(2\right)\)

xét tam giác DNF có MI//NF

=> \(\frac{MI}{NF}=\frac{DI}{DF}\left(3\right)\)

Từ (1)(2)(3)=> \(\frac{AM}{QN}=\frac{MI}{NF}\)

=> \(AM\cdot NF=MI\cdot QN\left(!\right)\)

xét tam giác KQF có AI//QF

=> \(\frac{KA}{KF}=\frac{KI}{KQ}\left(4\right)\)

xét tam giác KNF có AM//NF

=> \(\frac{AM}{NF}=\frac{KA}{KF}\left(5\right)\)

xét tam giác KQN có MI//QN

=> \(\frac{MI}{QN}=\frac{KI}{KQ}\left(6\right)\)

Từ (4)(5)(6)=> \(\frac{AM}{NF}=\frac{MI}{QN}\)

=> \(AM\cdot QN=MI\cdot NF\left(!!\right)\)

từ (!)=> \(AM=\frac{MI.QN}{NF}\)

thay vào(!!) ta có:

\(\Rightarrow\left(\frac{MI.QN}{NF}\right)\cdot QN=MI\cdot NF\)

\(MI\cdot\frac{QN^2}{NF}=MI.NF\)

=> \(\frac{QN^2}{NF}=NF\)

\(QN^2=NF^2\)

=> \(QN=NF\)

mà N nằm trên FQ lại có QN=NF

=> N là trung điểm của FQ(đpcm)

a) Ta có: \(DE^2+DF^2=3^2+4^2=25\left(cm\right)\)

và \(EF^2=5^2=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow DE^2+DF^2=EF^2\)

\(\Delta DEF\)có ba cạnh thỏa mãn định lý Py - ta - go nên \(\Delta DEF\) vuông

b) Vì DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(DEF\)nên \(DI=\frac{1}{2}EF\)

\(\Rightarrow DI=\frac{1}{2}.5=2,5\left(cm\right)\)

c) Vì DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(DEF\)nên \(DI=FI=EI\)

Lại có IK vuông góc DF

\(\Rightarrow\)IK là đường trung trực của đoạn thẳng DF

\(\Rightarrow IK=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)