a) \(EF=\sqrt{3^2+4^2}=5\)(cm)

\(DH=\dfrac{DE\cdot DF}{EF}=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)

b) \(EF=\sqrt{12^2+9^2}=15\left(cm\right)\)

\(DH=\dfrac{DE\cdot DF}{EF}=\dfrac{9\cdot12}{15}=\dfrac{108}{15}=7.2\left(cm\right)\)

c) \(EF=\sqrt{12^2+5^2}=13\left(cm\right)\)

\(DH=\dfrac{DE\cdot DF}{EF}=\dfrac{5\cdot12}{13}=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

Xét tứ giác AEDF có 

\(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

mà AD là phân giác của góc EAF

nên AEDF là hình vuông

Bài 2: 

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AB=BC\cdot\cos60^0\)

\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=2a\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=a\sqrt{3}\)

\(\widehat{C}=90^0-60^0=30^0\)

Lời giải:
$EF=\sqrt{ED^2+DF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ (cm) theo định lý Pitago

$\sin E=\frac{DF}{EF}=\frac{12}{13}$

$\cos E=\frac{ED}{EF}=\frac{5}{13}$

$\tan E=\frac{DF}{ED}=\frac{12}{5}$

$\cot E=\frac{1}{\tan E}=\frac{5}{12}$

Vì $\widehat{E}, \widehat{F}$ là 2 góc phụ nhau nên:
$\sin F=\cos E=\frac{5}{13}$

$\cos F=\sin E=\frac{12}{13}$

$\tan F=\cot E=\frac{5}{12}$

$\cot F=\tan E=\frac{12}{5}$

a: Xét ΔABC vuông tại A có tan B=\(\frac{AC}{AB}=3\)

nên \(\hat{ABC}\) ≃72 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-72^0=18^0\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)

=>\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}\)

=>\(\frac{BH}{CH}=\left(\frac13\right)^2=\frac19\)

c: \(AB=\frac13AC\)

=>AC=3AB

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=AB^2+9AB^2=10AB^2\)

=>\(BC=AB\cdot\sqrt{10}\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{S_{BHA}}{S_{BAC}}=\left(\frac{BA}{BC}\right)^2=\frac{1}{10}\)

=>\(S_{BHA}=\frac{15}{10}=1,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)