a: Xét ΔDEF có DI là phân giác

nên \(\dfrac{IE}{IF}=\dfrac{DE}{DF}\)

=>\(\dfrac{IE}{4,8}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)

=>IE=8(cm)

b: Xét ΔEDF có MI//DF

nên \(\dfrac{EM}{ED}=\dfrac{EI}{EF}\)

=>\(\dfrac{EM}{10}=\dfrac{8}{12.8}=\dfrac{5}{8}\)

=>\(EM=\dfrac{50}{8}=6,25\left(cm\right)\)

Ta có: ME+MD=DE

=>MD+6,25=10

=>MD=3,75(cm)

Xét ΔEDF có IM//DF

nên \(\dfrac{IM}{DF}=\dfrac{EI}{EF}\)

=>\(\dfrac{IM}{6}=\dfrac{8}{12,8}=\dfrac{5}{8}\)

=>\(IM=6\cdot\dfrac{5}{8}=3,75\left(cm\right)\)

c: Xét ΔEDF có MI//DF

nên \(\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{EI}{IF}\)

mà \(\dfrac{EI}{IF}=\dfrac{DE}{DF}\)

nên \(\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{DE}{DF}\)

a: Xét ΔDEF có DI là phân giác

nên \(\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{EI}{IF}\)

=>\(\dfrac{EI}{4,8}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)

=>EI=8(cm)

b: Ta có: EI+IF=EF

=>EF=6+8=14(cm)

Xét ΔEDF có MI//DF

nên \(\dfrac{MI}{DF}=\dfrac{EI}{EF}=\dfrac{EM}{ED}\)

=>\(\dfrac{MI}{6}=\dfrac{EM}{10}=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}\)

=>\(MI=\dfrac{18}{7}\left(cm\right);EM=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\)

MD+ME=DE

=>MD+30/7=10

=>MD=40/7(cm)

c: Xét ΔDEF có DI là phân giác

nên \(\dfrac{EI}{IF}=\dfrac{ED}{DF}\left(1\right)\)

Xét ΔEDF có MI//DF

nên \(\dfrac{EI}{IF}=\dfrac{ME}{MD}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{ED}{DF}=\dfrac{ME}{MD}\)

a: Xét ΔFID vuông tại I và ΔFDE vuông tại D có

\(\hat{DFE}\) chung

Do đó: ΔFID~ΔFDE

b: Gọi M là giao điểm của IH và KE

Xét ΔEKD có MH//KD

nên \(\frac{MH}{KD}=\frac{EM}{EK}\left(1\right)\)

Xét ΔEKF có IM//KF

nên \(\frac{IM}{KF}=\frac{EM}{EK}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MH}{DK}=\frac{IM}{KF}\)

mà DK=KF

nên MH=IM

=>M là trung điểm của IH

Xét ΔODF và ΔOIH có

\(\hat{ODF}=\hat{OIH}\) (hai góc so le trong, DF//IH)

\(\hat{DOF}=\hat{IOH}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔODF~ΔOIH

=>\(\frac{OD}{OI}=\frac{DF}{IH}=\frac{2\cdot DK}{2\cdot IM}=\frac{DK}{IM}\)

Xét ΔODK và ΔOIM có

\(\frac{OD}{OI}=\frac{DK}{IM}\)

\(\hat{ODK}=\hat{OIM}\) (hai góc so le trong, DK//IM)

DO đó: ΔODK~ΔOIM

=>\(\hat{DOK}=\hat{IOM}\)

mà \(\hat{DOK}+\hat{KOI}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{KOI}+\hat{IOM}=180^0\)

=>K,O,M thẳng hàng

mà K,M,E thẳng hàng

nên K,O,M,E thẳng hàng

hay O,K,E thẳng hàng

a) Ta có: \(DE^2+DF^2=3^2+4^2=25\left(cm\right)\)

và \(EF^2=5^2=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow DE^2+DF^2=EF^2\)

\(\Delta DEF\)có ba cạnh thỏa mãn định lý Py - ta - go nên \(\Delta DEF\) vuông

b) Vì DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(DEF\)nên \(DI=\frac{1}{2}EF\)

\(\Rightarrow DI=\frac{1}{2}.5=2,5\left(cm\right)\)

c) Vì DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(DEF\)nên \(DI=FI=EI\)

Lại có IK vuông góc DF

\(\Rightarrow\)IK là đường trung trực của đoạn thẳng DF

\(\Rightarrow IK=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

D E F I K

Giải: a) Ta có: DE² + DF² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 

             EF² = 5² = 25

=> DE² + DF² = EF² => DEF là t/giác vuông (theo định lí Pi - ta - go đảo)

b) Xét t/giác DEF có DI là đường trung tuyến

=> DI = EI = IF = 1/2EF = 1/2.5 = 2,5 (cm)

c) Ta có: DI = IF => t/giác DIF là t/giác cân

có IK là đường cao

=> IK đồng thời là đường trung tuyến

=> DK = KF = 1/2 DF = 1/2.4 = 2 (cm)

Áp dụng định lí Pi - ta - go vào t/giác IDK vuông tại K, ta có:

DI² = IK² + DK² 

=> IK² = DI² - DK² = 2,5² - 2² = 2,25

=> IK = 1,5 (cm)

a: Xét ΔDKF vuông tại K và ΔEDF vuông tại D có

góc F chung

=>ΔDKF đồng dạng với ΔEDF

b: \(DF=\sqrt{20^2-16^2}=12\left(cm\right)\)

DK=12*16/20=9,6cm

c: MK/MD=FK/FD

DI/EI=FD/FE

mà FK/FD=FD/FE

nên MK/MD=DI/EI