A B C E H F

a) Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)FBE có :

BF=BA (gt)

\(\widehat{ABE}=\widehat{FBE}\) ( vì tia phân giác góc B )

BE chung (gt)

Do đó \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)FBE (c-g-c)

b) Ta có :

ABE = \(\Delta\)FBE (cmt)

=> \(\widehat{EAB}=\widehat{EFB}=90^o\) ( 2 cặp góc tương ứng )

Vậy \(\widehat{EFB}\) = 90^o

c) Vì AH \(\perp\) BC nên \(\widehat{AHB}\) = 90^o

\(\widehat{EFB}\)=90^o ( câu b )

=> \(\widehat{AHB}\) và \(\widehat{EFB}\) là 2 cặp góc đồng vị

=> AH//EF

a) Ta có \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}=\widehat{\dfrac{CAB}{2}}\)

hay \(\widehat{BAE}=\widehat{FAE}\)

Xét \(\Delta ABEvà\Delta AFEcó\)

\(AB=AF\) (giả thiết )

 \(\widehat{BAE}=\widehat{FAE}\) (chứng minh trên)

\(AE\)  cạnh chung 

 \(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta AFE\left(c-g-c\right)\)

vậy \(\Delta ABE=\Delta AFE\)

b) ta có  \(\Delta ABE=\Delta AFE\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EFA}\) (2 góc tương ứng)

mà\(\widehat{EAB}=90độ\) \(\Rightarrow\widehat{EFA}=90độ\)

\(\Rightarrow EF\perp AC\)

vậy \(EF\perp AC\)

c)ta có  \(\Delta EAB=\Delta EFA\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow EB=EF\)

Xét \(\Delta CEFvà\Delta MEBcó\)

\(EF=EB\) (chứng minh trên)

\(\widehat{CEF}=\widehat{MEB}\) (2 góc đối đỉnh )

\(CE=ME\) (giả thiết )

\(\Rightarrow\Delta CEF=\Delta MEB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{EMC}\) mà \(\widehat{EMC}=90độ\) (vì\(EF\perp AC\))

\(\Rightarrow\widehat{EBM}=90độ\) mà \(\widehat{EBA}=90độ\)

\(\Rightarrow\widehat{EBM}+\widehat{EBA}=180độ\)

\(\Rightarrow\text{B,A,M thẳng hàng}\)

vậy\(\text{B,A,M thẳng hàng}\)

\(\Delta ABEvà\Delta AFEcó\)\(\Rightarrow EF\perp AC\)\(\Rightarrow EF\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EFA}\) 

a: Xét ΔBAE và ΔBFE có

BA=BF

\(\hat{ABE}=\hat{FBE}\)

BE chung

Do đó: ΔBAE=ΔBFE

b: ΔBAE=ΔBFE

=>\(\hat{BAE}=\hat{BFE}\)

=>\(\hat{BFE}=90^0\)

=>FE⊥BC

a: Xét ΔBAE avf ΔBFE có

BA=BF

góc ABE=góc FBE

BE chung

Do đó: ΔBAE=ΔBFE

b: ΔBAE=ΔBFE

nên góc BAE=góc BFE=90 độ

=>EF vuông góc với BC

Câu hỏi của Nguyễn Hiếu Nhân - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Ta giả sử $D$ nằm giữa $A$ và $H$. Ta chứng minh bằng cách đặt độ dài.

Gọi:

$AH=h,\quad AD=x,\quad BH=m,\quad CH=n$

Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$ nên:

$AH^2=BH\cdot CH$

Suy ra:

$h^2=mn$

Vì $DF\perp AH$ và $BC\perp AH$ nên:

$DF\parallel BC$

Xét $\triangle AHC$ và $\triangle ADF$:

$\widehat{AHC}=\widehat{ADF}=90^\circ$

$\widehat{HAC}=\widehat{DAF}$

Suy ra:

$\triangle AHC\sim\triangle ADF$

Do đó:

$\frac{DF}{AD}=\frac{AC}{AH}$

Suy ra:

$DF=\frac{x\cdot AC}{h}$

Mặt khác:

$AC^2=CH\cdot BC=n(m+n)$

và:

$AB^2=BH\cdot BC=m(m+n)$

Ta có:

$EB=EH+HB=x+m$

$EF^2=DF^2+DE^2$

Vì $DE=DH+HE=(h-x)+x=h$ nên:

$EF^2=\frac{x^2AC^2}{h^2}+h^2$

Thay $AC^2=n(m+n)$ và $h^2=mn$:

$EF^2=\frac{x^2n(m+n)}{mn}+mn$

$EF^2=\frac{x^2(m+n)}{m}+mn$

Lại có:

$BF^2=\left(m+\frac{xAC}{h}\right)^2+(h-x)^2$

Sau khi khai triển và sử dụng $h^2=mn$, ta được:

$BF^2=EB^2+EF^2$

Suy ra trong $\triangle BEF$:

$\widehat{BEF}=90^\circ$

Vậy: $EB\perp EF$