hình tự vẽ hén:>

kẻ AL//BC

có: \(\dfrac{AL}{BC}=\dfrac{AM}{MC}\)  ( hệ quả đl ta-lét)

theo giả thiết AM=\(\dfrac{1}{2}AC\) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{AM}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC-AM}{AM}=\dfrac{2-1}{1}=1\Rightarrow\dfrac{MC}{AM}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AL}{BC}=1\)

mặt khác ta có : \(\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AL}{BC}.\dfrac{BC}{BK}=1.3=3\Rightarrow\dfrac{AL}{BK}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{BK}=\dfrac{1}{1}=1\)

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\hat{AMB}=\hat{AMC}\)

mà \(\hat{AMB}+\hat{AMC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMB}=\hat{AMC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AM⊥BC tại M

b: Xét ΔMAB vuông tại M và ΔMDC vuông tại M có

MA=MD

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

ΔMAB=ΔMDC
=>AB=DC

c: Xét ΔNAB và ΔNCK có

NA=NC

\(\hat{ANB}=\hat{CNK}\) (hai góc đối đỉnh)

NB=NK

Do đó: ΔNAB=ΔNCK

=>\(\hat{NAB}=\hat{NCK}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CK

AB//CD

AB//CK

mà CK,CD có điểm chung là C

nên D,C,K thẳng hàng

tự vẽ hình 

a, có AM/AB=1/3

mà AN/AC=1,5/4,5=1/3

=> AM/AB=AN/AC

=> MN//BC

b, Ta có MN//BC=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ABC

=> <AMN= <ABC

Xét tam giác AMI và tam giác ABK

<AMI= <ABC (cmt)

<MAK chung

=> tam giác AMI đồng dạng tam giác ABK

MI/BK= AI/AK 

a: Xét ΔHBE và ΔHMA có

\(\hat{HBE}=\hat{HMA}\) (hai góc so le trong, BE//MA)

\(\hat{BHE}=\hat{MHA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHBE~ΔHMA

=>\(\frac{BE}{MA}=\frac{HB}{HM}=\frac12\)

=>\(\frac{BE}{\frac{AC}{2}}=\frac12\)

=>\(2\cdot\frac{BE}{AC}=\frac12\)

=>\(\frac{BE}{AC}=\frac14\)

b: Xét ΔKBE và ΔKCA có

\(\hat{KBE}=\hat{KCA}\) (hai góc so le trong, BE//CA)

\(\hat{BKE}=\hat{CKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKBE~ΔKCA

=>\(\frac{KB}{KC}=\frac{BE}{CA}=\frac14\)

=>\(\frac{BK}{BC}=\frac15\)

c: Vì \(BK=\frac15\cdot BC\)

nên \(\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac15\)

a. -Xét △BHE có: BE//AM (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{AM}=\dfrac{BH}{HM}\) (định lí Ta let)

Mà \(\dfrac{BH}{HM}=\dfrac{1}{2}\)(gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{AM}=\dfrac{1}{2}\)

-Mà \(AM=\dfrac{1}{2}AC\) (M là trung điểm AC).

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{\dfrac{1}{2}AC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{AC}=\dfrac{1}{4}\)

b) -Xét △BKE có: BK//AC (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{AC}=\dfrac{BK}{KC}\) (định lí Ta-let)

Mà \(\dfrac{BE}{AC}=\dfrac{1}{4}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}=\dfrac{BK}{KC}\)

\(\Rightarrow KC=4BK\) 

Mà \(BK+KC=BC\)

\(\Rightarrow BK+4BK=BC\)

\(\Rightarrow5BK=BC\)

\(\Rightarrow\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{1}{5}\)

c) \(\dfrac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{1}{5}\)