1.

Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$.

Suy ra: $NP\parallel BC,\ PN=\dfrac12BC$.

Lại có: $AF\parallel BC$ và $BF\parallel AM$.

Do đó: $AF\parallel NP$.

Mặt khác trong tam giác $ABF$, $P$ là trung điểm của $AB$ và $PN\parallel AF$ nên $N$ là trung điểm của $PF$.

Suy ra: $PN=NF$.

Vậy trong tứ giác $AFPN$:

$AF\parallel PN$ và $AF=PN$.

Do đó: $\boxed{AFPN \text{ là hình bình hành}}$.

Vì $AFPN$ là hình bình hành nên: $FN\parallel AP$.

Mà $A,P,B$ thẳng hàng nên: $FN\parallel CB$.

Lại có: $CN\parallel FP$ (vì $CN\subset AC$ và trong hình bình hành $AFPN$ thì $FP\parallel AN\subset AC$).

Do đó: $CN\parallel FP,\quad NF\parallel CP$.

Suy ra: CNFP là hình bình hành.

Ta có $NJ\parallel AM$ (gt) và $BF\parallel AM$ nên: $NJ\parallel BI$.

Mặt khác, $I$ là giao điểm của $NP$ và $BF$.

Vì $NP\parallel BC$ nên: $NI\parallel BJ$.

Do đó: $NJ\parallel BI,\quad NI\parallel BJ$.

Suy ra NIBJ là hình bình hành.

2.

a) Ta có:

$AI\parallel BG$ (cách dựng), $BI\parallel AK$.

Mà $G\in AK$ nên: $AG\parallel BI$.

Suy ra tứ giác $AGBI$ có:

$AI\parallel BG$ và $AG\parallel BI$.

Do đó: $AGBI$ là hình bình hành.

Suy ra: $\boxed{BG=AI}$.

b) Vì $HE$ là đường trung trực của $AC$ nên $E$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, $E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ nên:

$HE=AE=\dfrac{AC}{2}$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$\widehat{BGA}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ với góc $C$),

$\widehat{BAG}=\widehat{AKC}=90^\circ$.

Suy ra: $\triangle BGA\sim\triangle ACK$.

Do đó: $\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BA}{AK}$.

Mà trong tam giác vuông $ABK$:

$AK=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}$.

Suy ra: $BG=AC$.

Vậy: $\boxed{BG=2HE}$.

c) Tương tự, vì $HF$ là đường trung trực của $BC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác vuông $BDC$, $F$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên:

$HF=BF=\dfrac{BC}{2}$.

Lại có: $\triangle AGB\sim\triangle DCB$.

Suy ra: $\dfrac{AG}{BC}=1$.

Hay: $AG=BC$.

Do đó: $\boxed{AG=2HF}$.

A B C P M N D E F

a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 90⁰ + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP

Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)

Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)

b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:

\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)

\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)

\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)

\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)

\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)

a/CM cho PNFC và BNFD là hình bình hành => NF=PC=BD và NF song song PC song song BD

b/ Từ câu a suy ra P,M,D thẳng hàng. PM là đường trung bình của tam giác ABC suy ra PM song song với AC => PD song song  với NC => PNCD là hình thang.

c/ Cm cho ANDM là hình bình hành.

Để PNCD là hình thang cân thì CD=PM suy ra AP = BM suy ra AB=BC.

Câu c hình như sai rồi bạn ạ. Phải là AB=BC=CA luôn chứ