A B C E N Q P

a) Xét \(_{\Delta}\)ANC và \(\Delta\)ENB có:

AN = EN (gt)

\(\widehat{ANC}\) = \(\widehat{ENB}\) (đối đỉnh)

NC = NB (suy từ gt)

=> \(\Delta\)ANC = \(\Delta\)ENB (c.g.c)

b) Vì \(\Delta\)ANC = \(\Delta\)ENB (câu a)

nên \(\widehat{ACN}\) = \(\widehat{EBN}\) ( 2 góc t ư )

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // BE.

c) Do AC // BE nên \(\widehat{QAN}\) = \(\widehat{NEP}\) ( so le trong )

Xét \(\Delta\)QAN và \(\Delta\)PEN có:

QA = PE (gt)

\(\widehat{QAN}\) = \(\widehat{NEP}\) (cm trên)

AN = EN (gt)

=> \(\Delta\)QAN = \(\Delta\)PEN (c.g.c)

=> \(\widehat{ANQ}\) = \(\widehat{ENP}\) ( 2gosc tư )

mà \(\widehat{ANP}\) + \(\widehat{ENP}\) = 180 độ (kề bù)

=> \(\widehat{ANP}\) + \(\widehat{ANQ}\) = 180 độ

mà 2 góc này kề nhau nên Q, N, P thẳng hàng.

A B C N E Q P

a) Xét △ANC và △ENB có :

NA = NE (gt)

góc ANC = góc ENB ( 2 góc đđ )

NB = NC ( N la trung điểm của BC )

=> △ANC = △ENB (c-g-c)

Vì △ANC = △ENB nên góc EBN = góc ACN ( 2 goc tương ứng )

b) Vì góc EBN = góc ACN mà 2 góc này ở vị trí slt nên AC // BE

a: Xét ΔABE và ΔADC có

\(\hat{BAE}=\hat{DAC}\) (hai góc đối đỉnh)

AB=AD

\(\hat{ABE}=\hat{ADC}\) (hai góc so le trong, BE//CD)

Do đó: ΔABE=ΔADC

=>AE=AC và BE=CD
Xét ΔADE và ΔABC có

AD=AB

\(\hat{DAE}=\hat{BAC}\) (hai góc đối đỉnh)

AE=AC

Do đó: ΔADE=ΔABC

=>DE=BC

b: Ta có: \(BP=PE=\frac{BE}{2}\)

\(CQ=QD=\frac{CD}{2}\)

mà BE=CD

nên BP=PE=CQ=DQ

Xét ΔACQ và ΔAEP có

AC=AE

\(\hat{ACQ}=\hat{AEP}\) (hai góc so le trong, BE//CD)

CQ=EP

Do đó: ΔACQ=ΔAEP

=>\(\hat{CAQ}=\hat{EAP}\)

mà \(\hat{CAQ}+\hat{QAE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{EAP}+\hat{QAE}=180^0\)

=>Q,A,P thẳng hàng

ΔACQ=ΔAEP

=>AQ=AP

mà Q,A,P thẳng hàng

nên A là trung điểm của PQ

a) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh).

Suy ra: $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

b) Vì $N$ là trung điểm của $AC$ và $NE\parallel BC$ nên theo định lí đường trung bình trong tam giác $ABC$:

$E$ là trung điểm của $AB$.

Do đó: $AE=\dfrac{AB}{2},\ AN=\dfrac{AC}{2}$.

Suy ra: $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac12$.

Vậy: $\triangle AEN\sim\triangle ABC$.

Suy ra: $\widehat{AEN}=\widehat{ABC}$.

Mà $NE\parallel BC$ nên: $\widehat{(EN,AB)}=\widehat{ABC}$.

Trong tam giác cân $AEN$ tại đỉnh $A$, đường nối trung điểm $N$ của $AC$ song song $BC$ nên $EN$ có cùng phương với $BC$.

Lại có: $AH\perp BC$.

Suy ra: $\boxed{EN\perp AH}$.

c) Trên tia đối của tia $NE$ lấy $K$ sao cho $NK=NE$ nên:

$N$ là trung điểm của $EK$.

Mà ở câu b), $N$ là trung điểm của $AC$.

Vậy trong tứ giác $AECK$, hai đường chéo $AC$ và $EK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra: $AECK$ là hình bình hành.

Do đó: $CK\parallel AE$.

Mà $AE\subset AB$ nên: $CK\parallel AB$.

Theo câu a), $CD\parallel AB$.

Suy ra: $CK\parallel CD$.

Hai đường thẳng này cùng đi qua $C$ nên trùng nhau.

Vậy: $\boxed{D,\ C,\ K\ \text{thẳng hàng}.}$

tham khảo 
 

mik ko thể vẽ hình đc

SORRY

Giải thích các bước giải:

a.*Xét ΔMBN,ΔMAC có:
MA=MB( vì M là trung điểm BA)
ˆNMB=ˆMC (2 góc đối đỉnh)
    MN=MC
⇔ΔMNB=ΔMCA(c.g.c)
⇒ˆMNB=ˆMCA
⇒BN//AC

     Vậy BN//AC
b.Từ câu a ⇒AC=BN
Ta có 
    BN//AC
⇒AC//BE
⇒ˆEAC=ˆAEB
*Xét ΔABE,ΔECA có: 
AE chung
ˆAEB=ˆEAC
    BE=AC
 ⇔ ΔABE=ΔECA(c.g.c)

⇒AB=EC

     Vậy AB=EC
c.Ta có 
       AC//BE
⇒ˆACB=ˆCBE
⇒ˆACF=ˆFBE
*Xét ΔACF và ΔBEF có:
FB=FC( F là trung điểm của BC)
 ˆACF=ˆEBF
    AC=BE
⇔ΔACF=ΔEBF(c.g.c)
⇒ˆAFC=ˆBFE
⇒A,F,E thẳng hàng

         Vậy A;F;E thẳng hàng