a: Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>EF là đường trung bình cua ΔABC

b: EF là đường trung bình của ΔABC

=>EF//AB và \(EF=\frac{AB}{2}\)

EF//AB

=>EF//AD
\(EF=\frac{AB}{2}\)

\(AD=DB=\frac{AB}{2}\)

Do đó: EF=AD=DB

Xét tứ giác ADFE có

AD//FE

AD=FE

Do đó: ADFE là hình bình hành

Xét ΔAED có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,AE

=>MN là đường trung bình của ΔAED
=>MN//ED và \(MN=\frac{ED}{2}\)

Xét ΔFDE có

P,Q lần lượt là trung điểm của FE,FD

=>PQ là đường trung bình của ΔFDE

=>PQ//DE và \(PQ=\frac{DE}{2}\)

MN//ED

PQ//ED

Do đó: MN//PQ

\(MN=\frac{ED}{2}\)

\(PQ=\frac{ED}{2}\)

Do đó: MN=PQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ
Do đó: MNPQ là hình bình hành

c: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}=90^0\)

=>\(\hat{DAE}=90^0\)

Hình bình hành ADFE có \(\hat{DAE}=90^0\)

nên ADFE là hình chữ nhật

=>AF=DE

Xét ΔDAF có

M,Q lần lượt là trung điêm của DA,DF

=>QM là đường trung bình của ΔDAF

=>\(QM=\frac{AF}{2}=\frac{DE}{2}=MN\)

Hình bình hành MNPQ có MN=MQ

nên MNPQ là hình thoi

a) 1 XÉt tam giác ABC có:

D là trung điểm của AB (giả thiết)  (1)

F là trung điểm của BC ( giả thiết)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra DF là đường trung bình

Suy ra DF song song với AC suy ra DF song song AE (vì AE \(\in\)AC) 

Suy ra DF=\(\frac{1}{2}\)AC mà AE cũng = \(\frac{1}{2}\)AC suy ra DF = AE

Xét tứ giác ADEF có:

DF song song AE (3)

DF=AE (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác DAEF là HBH

Bài 1:

A B C D M N P Q E F

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc