Do MD//AB và \(AB\perp AD\) nên \(MD\perp AD\) hay \(\widehat{ADM}=90^o\). Hoàn toàn tương tự, ta có \(\widehat{AEM}=90^o\). Mà \(\widehat{DAE}=90^o\) nên tứ giác ADME là hình chữ nhật. Do đó \(DE=AM\). Như vậy, ta quy về tìm vị trí của M trên BC để AM nhỏ nhất. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC thì H cố định. Ta thấy AH và AM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ A lên BC nên \(AM\ge AH\). Dấu "=" chỉ xảy ra khi \(M\equiv H\) hay M là chân đường vuông góc hạ từ A lên BC. 

Sửa đề: AC=8cm

a: ΔBCA vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=BC/2=5(cm)

b:

Ta có: MD⊥AB

AC⊥AB

Do đó: MD//AC

Ta có: ME⊥AC

AC⊥ AB

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

=>AD=BD=AB/2=3(cm)

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

=>AE=EC=AC/2=4(cm)

Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

=>EM=AD=3cm; DM=AE=4cm; DE=AM=5cm

c: Kẻ AH⊥ BC tại H

=>AH<=AM

mà AM=DE

nên AH<=DE

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

hay M là chân đường cao kẻ từ A xuống BC

                                                                       BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA

                                                                                       Giải 

                                    Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có:

   a)                      Ta có S_{tam giác BMC}+S_{tam giác CMA}+S_{tam giác AMB} =S​_{tam giác ABC}                    

                   <=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah  <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah      

              <=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

   b)                    x²+y²\(\ge\)2xy ; y²+z²\(\ge\)2yz ;  z²+x²\(\ge\)2zx

             =>2.(x²+y²+z²)  \(\ge\)2xy+2xz+2yz

             =>3.(x²+y²+z²)   \(\ge\)x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz

            =>x²+y²+z²     \(\ge\)(x+y+z)²/3=h²/3  không đổi

                     Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

           Vậy để x² + y² + z² đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABC

\(a.\)Ta có:    \(S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}\)
                      \(S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}\)\(\Rightarrow\)\(z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}\)
                      \(S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}\)\(\Rightarrow\)\(y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}\)
   mà \(\Delta ABC\) đều nên AB = BC = CA
suy ra \(x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}\)
suy ra đpcm

a) Xét tứ giác ADME có 

AD//ME

DM//AE

Do đó: ADME là hình bình hành

b) Xét ΔEMC có \(\widehat{EMC}=\widehat{C}\left(=\widehat{B}\right)\)

nên ΔEMC cân tại E

Suy ra: EM=EC

Ta có: AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)

mà AE=DM(AEMD là hình bình hành

mà EM=EC(cmt)

nên AC=MD+ME