Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có hình vẽ:
A B C D E F I
Kẻ \(ID\perp AB,IE\perp BC,IF\perp AC\)
Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:
\(\widehat{IDB}=\widehat{IEB}=90^o\)
\(\widehat{DBI}=\widehat{EBI}\left(gt\right)\)
BI là cạnh huyền trung
\(\Rightarrow\Delta IDB=\Delta IEB\)(cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:
\(\widehat{IEC}=\widehat{IFC}=90^o\)
\(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\left(gt\right)\)
CI là cạnh huyền trung
\(\Rightarrow\Delta IEC=\Delta IFC\: \)(cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2), suy ra: ID = IF
Xét tam giác vuông IDA và IFA, ta có:
\(\widehat{IDA}=\widehat{IFA}=90^o\)
ID = IF (chứng minh trên)
AI là cạnh huyền trung
Suy ra: \(\Delta IDA=\Delta IFA\)(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat{DAI}=\widehat{FAI}\) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
A B C I M N P
Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của I lên các cạnh BC,BA,CA
Xét \(\Delta\)BIN và \(\Delta\)BIM có
\(\widehat{IBN}=\widehat{IBM}\)(BI là phân giác)
BI chung
=> \(\Delta\)BIN = \(\Delta\)BIM (cạnh huyền-góc nhọn)
=> IM=IN
CM tương tự có: \(\Delta\)CIP=\(\Delta\)CIM => IM=IP
=> IM=IN=IP
Xét \(\Delta\)AIN và \(\Delta\)AIP vuông tại N và P có:
IA chung
IN=IM
=> \(\Delta\)AIN = \(\Delta\)AIP (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{IAN}=\widehat{IAP}\)=> IA là phân giác góc A (DPCM)
Gọi IH là phân giác của góc BIC(H∈BC)
Xét ΔABC có
\(\hat{BAC}+\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0\)
=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0-60^0=120^0\)
=>\(2\left(\hat{IBC}+\hat{ICB}\right)=120^0\)
=>\(\hat{IBC}+\hat{ICB}=\frac{120^0}{2}=60^0\)
xét ΔIBC có \(\hat{IBC}+\hat{ICB}+\hat{BIC}=180^0\)
=>\(\hat{BIC}=180^0-60^0=120^0\)
IH là phân giác của góc BIC
=>\(\hat{BIH}=\hat{CIH}=\frac12\cdot\hat{BIC}=60^0\)
Ta có: \(\hat{BIC}+\hat{BIE}=180^0\) (hai góckề bù)
\(\Rightarrow\hat{BIE}=180^0-120^0=60^0\)
Ta có: \(\hat{BIC}+\hat{CID}=180^0\) (hai góckề bù)
=>\(\hat{CID}=180^0-120^0=60^0\)
Xét ΔBEI và ΔBHI có
\(\hat{EBI}=\hat{HBI}\)
BI chung
\(\hat{EIB}=\hat{HIB}\left(=60^0\right)\)
Do đó;ΔBEI=ΔBHI
=>IE=IH(1)
Xét ΔCHI và ΔCDI có
\(\hat{HCI}=\hat{DCI}\)
CI chung
\(\hat{HIC}=\hat{DIC}\)
Do đó; ΔCHI=ΔCDI
=>IH=ID(2)
Từ (1),(2) suy ra IE=ID
