\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)⇒ O là trọng tâm tam giác ABC

\(\overrightarrow{K\text{A}}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\)

⇒ K là trọng tâm tam giác ABC

Câu cuối chịu :))

ΔBAC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=\left(3a\right)^2+\left(4a\right)^2=9a^2+16a^2=25a^2=\left(5a\right)^2\)

=>AC=5a

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\)

=>AMBC là hình bình hành

Xét ΔABC vuông tại B có sin BAC=\(\frac{BC}{CA}=\frac{4a}{5a}=\frac45\) ; cos BAC=\(\frac{BA}{AC}=\frac{3a}{5a}=\frac35\)

\(\sin CAM=\sin\left(CAB+BAM\right)\)

\(=\sin90^0\cdot cosBAC+cos90^0\cdot\sin BAC=cosBAC\) =3/5

=>\(cosCAM=-\sqrt{1-\sin^2CAM}=-\frac45\)

N là trung điểm của AC

=>\(AN=\frac{AC}{2}=2,5a\)

AMBC là hình bình hành

=>AM=BC=4a

Xét ΔAMN có \(cosNAM=\frac{AN^2+AM^2-MN^2}{2\cdot AN\cdot AM}\)

=>\(\frac{\left(2.5a\right)^2+\left(4a\right)^2-MN^2}{2\cdot2,5a\cdot4a}=\frac{-4}{5}\)

=>\(6,25a^2+16a^2-MN^2=-\frac45\cdot5a\cdot4a=-4a\cdot4a=-16a^2\)

=>\(MN^2=6.25a^2+16a^2+16a^2=38,25a^2\)

=>\(MN=\sqrt{38,25a^2}=a\cdot\sqrt{\frac{153}{4}}=a\cdot\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

MA+MC= MA-MB

<=> 2 MI=BA

=> MI=BA/2

=> I thuộc đường tròn I bán kính AB/2

nãy mk quên giải thik: 

a, gọi I la trung điểm của AC=> MA+MC=2MI

hok tốt

a: \(2\cdot\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}\)

=>\(\overrightarrow{AM}=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}\)

=>M là điểm thỏa mãn AMCB là hình thang và AM=1/2BC

b: \(2\cdot\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{OM}\)

\(=2\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}\right)-\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)\)

\(=2\cdot\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OM}\)

a) \(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}\). Từ đó suy ra cách dựng điểm I:

A B C I

b) Với cách lấy điểm I như trên, ta có điểm I cố định. Khi đó MN đi qua I, thật vậy:

\(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\)

\(=2\overrightarrow{MI}+\left(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=2\overrightarrow{MI}\)

Suy ra I là trung điểm MN hay MN đi qua điểm I cố định (đpcm).

c) \(\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MC}\)

Đặt K là điểm sao cho \(\overrightarrow{KA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\hept{\begin{cases}K\in\left[AC\right]\\KA=\frac{1}{2}KC\end{cases}}\)tức K xác định

Khi đó \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MK}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MK}\), suy ra MP đi qua K cố định (đpcm).

u