\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)⇒ O là trọng tâm tam giác ABC

\(\overrightarrow{K\text{A}}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\)

⇒ K là trọng tâm tam giác ABC

Câu cuối chịu :))

a/ \(2\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JA}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{BJ}=2\overrightarrow{CJ}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{CJ}\)

Vậy vẽ điểm I thế này: Vì 2 vecto bằng nhau nên cùng phương=> vẽ CJ//BA sao cho CJ= AB/2

b/ \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{BK}+2\overrightarrow{KC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{CK}=3\overrightarrow{BK}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{BK}\)

Vì 2 vecto cùng phương=> Vẽ BK//CA sao cho AC=3BK

\(\overrightarrow{EA}=2\cdot\overrightarrow{EB}\)

=>B là trung điểm của EA

=>\(\overrightarrow{AE}=2\cdot\overrightarrow{AB}\)

Gọi M là giao điểm của AG và BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là giao điểm của AG và BC

Do đó: M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AM là đường trung tuyến

Do đó: \(AG=\frac23AM\)

\(3\cdot\overrightarrow{FA}+2\cdot\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(3\cdot\overrightarrow{FA}=-2\cdot\overrightarrow{FC}\)

=>\(\overrightarrow{FA}=-\frac23\cdot\overrightarrow{FC}\)

=>F nằm giữa A và C sao cho \(FA=\frac23FC\)

FA+FC=AC

=>\(AC=\frac23FC+FC=\frac53FC\)

=>\(AF=\frac25\cdot AC\)

\(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AG}\)

\(=-2\cdot\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=-2\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-5}{3}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=-\frac13\left(5\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\)

\(=-2\cdot\overrightarrow{AB}+\frac25\cdot\overrightarrow{AC}=-\frac25\cdot\left(5\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

=>\(\frac{\overrightarrow{EG}}{\overrightarrow{EF}}=\frac{-1}{3}:\frac{-2}{5}=\frac13\cdot\frac52=\frac56\)

=>E,G,F thẳng hàng

Ta thấy \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}\)

Như vậy, điểm M chính là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.