Bạn nhìn hình của cô nhé:

Xét \(\Delta BEN\)và\(\Delta BEC\)Ta có:

          BE chung

          góc CEB= góc NBE(do be là phân giác góc B)

=>\(\Delta BEN=\Delta BEC\left(CH-GN\right)\)

=> BN=BC(c.t.ứ)

=>\(\Delta BCN\) cân ở B => góc CNB = góc NCB =\(\frac{180^0-gócABC}{2}\)

bằng cách chứng minh tương tự:

góc AMC=góc ACM = \(\frac{180^0-gócBAC}{2}\)

=> góc AMC + góc CNB =\(\frac{180^0-gócABC+180^0-gócBAC}{2}=\frac{360^0-90^0}{2}=135^0\)(do tam giác ABC vuông ở C)

Mà góc MCN+góc AMC + góc CNB=180⁰

=>góc MCN =35⁰

C B A D E M N 1 2 3

+) Vì AD là phân giác của góc A ; DM là khoảng cách từ D xuống cạnh AB; DC là khoảng cách từD xuống cạnh AC

=> DM = DC

=> tam giác DCM cân tại D 

=> góc C₁ = \(\frac{180^o-CDM}{2}\)

Mà góc CDM là góc ngoài của tam giác DMB => góc CDM = DBM + BMD = DBM + 90^o

=> Góc C₁ = \(\frac{180^o-CDM}{2}=\frac{180^o-\left(DBM+90^o\right)}{2}=\frac{90^o-DBM}{2}\) (1)

+) Tương tự, BE là phân giác của góc B 

=> EC = EN => tam giác ACN cân tại E

=> Góc C₃ = \(\frac{180^o-CEN}{2}\)

mà góc CEN = EAN + ANE = EAN + 90^o

=> góc C₃ = \(\frac{180^o-CEN}{2}=\frac{180^o-\left(EAN+90^o\right)}{2}=\frac{90^o-EAN}{2}\) (2)

+)  góc MCN = 90^o - (C₁ + C₃). Từ (1)(2)

=> Góc MCN =  90^o -  (\(\frac{90^o-DBM}{2}\) + \(\frac{90^o-EAN}{2}\) )

= 90^o -  \(\frac{180^o-\left(DBM+EAN\right)}{2}\) =  90^o -  \(\frac{180^o-90^o}{2}\) = 45^o

Xét ΔACD vuông tại C và ΔAMD vuông tại M có

AD chung

\(\hat{CAD}=\hat{MAD}\)

Do đó: ΔACD=ΔAMD

=>AC=AM

=>\(\hat{ACM}=\hat{AMC}\)

Xét ΔBCE vuông tại C và ΔBNE vuông tại N có

BE chung

\(\hat{CBE}=\hat{NBE}\)

Do đó: ΔBCE=ΔBNE

=>BC=BN

=>ΔBCN cân tại B

=>\(\hat{BCN}=\hat{BNC}\)

Ta có: \(\hat{ACN}+\hat{BCN}=\hat{BCA}\) (tia CN nằm giữa hai tia CA và CB)

=>\(\hat{ACN}=\hat{BCA}-\hat{BCN}=90^0-\hat{BCN}=90^0-\hat{CNM}\)

Ta có: \(\hat{BCM}+\hat{MCA}=\hat{BCA}=90^0\)

=>\(\hat{BCM}=90^0-\hat{MCA}=90^0-\hat{AMC}=90^0-\hat{CMN}\)

\(\hat{ACN}+\hat{MCN}+\hat{BCM}=90^0\)

=>\(\hat{MCN}=90^0-\left(\hat{ACN}+\hat{BCM}\right)\)

=>\(\hat{MCN}=90^0-\left(90^0-\hat{CMN}+90^0-\hat{CNM}\right)=90^0-\left(180^0-\hat{CMN}-\hat{CNM}\right)\)

=>\(\hat{MCN}=90^0-\hat{MCN}\)

=>\(2\cdot\hat{MCN}=90^0\)

=>\(\hat{MCN}=45^0\)

a) Vì AB // CN (gt)

=> AE //NC 

=> EB//NC

=> MCN = EBM (so le trong) 

Xét ∆EBM và ∆MCN ta có :

BM = MC (M là trung điểm BC )

BME = NMC ( đối đỉnh) 

MCN = EBM (cmt)

=> ∆EBM = ∆MCN (g.c.g)(dpcm)

a: Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{BAC}+\hat{BCA}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BCA}=180^0-60^0=120^0\)

=>\(\hat{IAC}+\hat{ICA}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Xét ΔIAC có \(\hat{IAC}+\hat{ICA}+\hat{AIC}=180^0\)

=>\(\hat{AIC}=180^0-60^0=120^0\)

c: kẻ IN là phân giác của góc AIC(N∈AC)

=>\(\hat{AIN}=\hat{CIN}=\frac12\cdot\hat{AIC}=\frac12\cdot120^0=60^0\)

Ta có: \(\hat{AIE}+\hat{AIC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{AIE}=180^0-120^0=60^0\)

Ta có: \(\hat{CID}+\hat{CIA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{CID}=180^0-120^0=60^0\)

Xét ΔAEI và ΔANI có

\(\hat{AIE}=\hat{AIN}\)

IA chung

\(\hat{IAE}=\hat{IAN}\)

Do đó: ΔAEI=ΔANI

=>IE=IN(1)

Xét ΔCDI và ΔCNI có

\(\hat{DIC}=\hat{NIC}\left(=60^0\right)\)

IC chung

\(\hat{DCI}=\hat{NCI}\)

Do đó: ΔCDI=ΔCNI

=>ID=IN(2)

Từ (1),(2) suy ra IE=ID

=>ΔIED cân tại I