1: Gọi O là trung điểm của CE

Xét (O) có

ΔCNE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCNE vuông tại N

=>CN⊥NA tại N

Xét (O) có

ΔCME nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCME vuông tại M

=>EM⊥AC tại M

Xét tứ giác ABEM có \(\hat{ABE}+\hat{AME}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABEM là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác ABNC có \(\hat{ABC}=\hat{ANC}=90^0\)

nên ABNC là tứ giác nội tiếp

2: \(\hat{EMB}=\hat{EAB}\) (ABEM nội tiếp)

\(\hat{EAB}=\hat{NAB}=\hat{NCB}\) (ABNC nội tiếp)

Do đó: \(\hat{EMB}=\hat{NCB}\)

mà \(\hat{NCB}=\hat{NCE}=\hat{NME}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NE)

nên \(\hat{NME}=\hat{EMB}\)

=>ME là phân giác của góc NMB

3: Xét ΔCME vuông tại M và ΔCBA vuông tại B có

\(\hat{MCE}\) chung

Do đó: ΔCME~ΔCBA

=>\(\frac{CM}{CB}=\frac{CE}{CA}\)

=>\(CM\cdot CA=CE\cdot CB\)

Xét ΔAME vuông tại M và ΔANC vuông tại N có

\(\hat{MAE}\) chung

Do đó: ΔAME~ΔANC

=>\(\frac{AM}{AN}=\frac{AE}{AC}\)

=>\(AN\cdot AE=AM\cdot AC\)

\(CE\cdot CB+AN\cdot AE\)

\(=CM\cdot CA+AM\cdot AC\)

\(=AC\left(AM+CM\right)=AC^2\)

a: góc CME=1/2*180=90 độ

=>EM vuông góc AC

góc EBA+góc EMA=180 độ

=>EBAM nội tiếp

góc ANC=1/2*180=90 độ

góc ANC=góc ABC=90 độ

=>ABNC nội tiếp

b; góc BME=góc EAB

góc NME=góc NCE

mà góc NCE=góc EAB

nên góc BME=góc NME

=>ME là phân giác của góc BMN

a) Tứ giác ACBM có: 

Góc BAC=90 (vì ABC vuông tại A) 

BMC=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> BAC+BMC=180 => ACBM nội tiếp đ.tr

b) Tứ giác BNME nội tiếp trong đường tròn đường kính BE nên: 
góc ABN=AME (cùng bù với góc NME)
Mà góc AME=ABC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) 
Nên ABN=ABC =>  BA là tia phân giác của góc CBN.
c) 
(  tam giác KBC có hai đường cao BA và CM cắt nhau tại E
=>  E là trực tâm tam giác KBC => KE vuông góc với BC (1)
( góc EDB=90 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>  ED vuông góc với BC (2)
(1) và (2) ta có  ba điểm K, E, D thẳng hàng và KD vuông với BC