1: Gọi O là trung điểm của CE

Xét (O) có

ΔCNE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCNE vuông tại N

=>CN⊥NA tại N

Xét (O) có

ΔCME nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCME vuông tại M

=>EM⊥AC tại M

Xét tứ giác ABEM có \(\hat{ABE}+\hat{AME}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABEM là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác ABNC có \(\hat{ABC}=\hat{ANC}=90^0\)

nên ABNC là tứ giác nội tiếp

2: \(\hat{EMB}=\hat{EAB}\) (ABEM nội tiếp)

\(\hat{EAB}=\hat{NAB}=\hat{NCB}\) (ABNC nội tiếp)

Do đó: \(\hat{EMB}=\hat{NCB}\)

mà \(\hat{NCB}=\hat{NCE}=\hat{NME}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NE)

nên \(\hat{NME}=\hat{EMB}\)

=>ME là phân giác của góc NMB

3: Xét ΔCME vuông tại M và ΔCBA vuông tại B có

\(\hat{MCE}\) chung

Do đó: ΔCME~ΔCBA

=>\(\frac{CM}{CB}=\frac{CE}{CA}\)

=>\(CM\cdot CA=CE\cdot CB\)

Xét ΔAME vuông tại M và ΔANC vuông tại N có

\(\hat{MAE}\) chung

Do đó: ΔAME~ΔANC

=>\(\frac{AM}{AN}=\frac{AE}{AC}\)

=>\(AN\cdot AE=AM\cdot AC\)

\(CE\cdot CB+AN\cdot AE\)

\(=CM\cdot CA+AM\cdot AC\)

\(=AC\left(AM+CM\right)=AC^2\)

a: góc CME=1/2*180=90 độ

=>EM vuông góc AC

góc EBA+góc EMA=180 độ

=>EBAM nội tiếp

góc ANC=1/2*180=90 độ

góc ANC=góc ABC=90 độ

=>ABNC nội tiếp

b; góc BME=góc EAB

góc NME=góc NCE

mà góc NCE=góc EAB

nên góc BME=góc NME

=>ME là phân giác của góc BMN

a,ta có góc MAB=90°; MNB=90°(gt);(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)

xét tứ giác AMNB có góc MAN+MNB=90°+90°=180°

suy ra AMNB nội tiếp

b, ta có góc CAB=90°(gt); CPB=90°( góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)

xét tứ giác CPAB có góc CAB=CPB=90°

suy ra CPAB nội tiếp ( hai góc bằng nhau cùng chắn cung CB)

suy ra góc BCA=BPA(1)

góc PBA=PCA(2)

mà góc MPN=ACB=1/2sđcung MN(3)

góc PCA=PNM=1/2sđcung PM(4)

từ 1,3 suy ra góc ACB=MPN

từ 2,4 suy ra góc PNM=PBA

xét hai tam giác PAB và PMN có 

góc APB=MPN(cmt)

góc PNM=PBA(cmt)

suy ra hai tam giác đó đồng dạng (đpcm)

c, ta có góc PDN=PCN=1/2sđ cung PN(1)

góc PAC=PBC(CPAB nội tiếp)(2)

mà góc PBC+PCB=90°(3)

từ 1,2,3 suy ra góc DAC+ADE=90°

suy ra DN vuông với AC

xét hai tam giác PCM và ECG có góc C chung

góc CEG=CPM=90°

suy ra hai tam giác đó đồng dạng

suy ra PC/EC=CM/CG

suy ra PC.CG=EC.CM(đpcm)