Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
. Lấy điểm M là trung điểm của AC, điểm N là trung điểm của BC.
.
a) Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.
Vì $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên:
$AB$ là đường trung trực của $DM$.
Suy ra:$E$ là trung điểm của $DM$ và $DE\perp AB$.
Tương tự, $N$ đối xứng với $D$ qua $AC$ nên:
$AC$ là đường trung trực của $DN$.
Suy ra: $F$ là trung điểm của $DN$ và $DF\perp AC$.
Mà $AB\perp AC$ nên:
$DE\parallel AC,\quad DF\parallel AB$.
Lại có: $AE\subset AB,\quad AF\subset AC$.
Suy ra: $AE\parallel DF,\quad AF\parallel DE$.
Vậy $AEDF$ là hình bình hành.
Mặt khác: $\widehat{EAF}=90^\circ$.
Do đó: $\boxed{AEDF \text{ là hình chữ nhật}}$.
b) Chứng minh tứ giác $ADBM$ là hình thoi.
Vì $D$ là trung điểm của $BC$ trong tam giác vuông $ABC$ nên: $DA=DB=DC$.
Lại có $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên: $AD=AM,\quad BD=BM$.
Suy ra: $AD=DB=BM=MA$.
Vậy: $ADBM$ là hình thoi.
c) Chứng minh $M$ đối xứng với $N$ qua $A$.
Do $M$ là ảnh của $D$ qua $AB$ nên: $AM=AD$.
Do $N$ là ảnh của $D$ qua $AC$ nên: $AN=AD$.
Suy ra: $AM=AN$.
Mặt khác, vì $AB\perp AC$ nên hai phép đối xứng qua $AB$ và $AC$ biến $D$ thành $M$ và $N$ đối xứng nhau qua điểm $A$.
Hay: $A$ là trung điểm của $MN$.
Vậy: $M$ và $N$ đối xứng nhau qua $A$.
d) Điều kiện để $AEDF$ là hình vuông.
Vì $AEDF$ là hình chữ nhật nên để là hình vuông cần: $AE=AF$.
Mà: $AE=\dfrac{DM}{2},\quad AF=\dfrac{DN}{2}$.
Do đó: $DM=DN$.
Vì $M,N$ lần lượt là ảnh của $D$ qua $AB,AC$ nên:
$DM=2\,d(D,AB),\quad DN=2\,d(D,AC)$.
Suy ra: $d(D,AB)=d(D,AC)$.
Tức là $D$ nằm trên phân giác góc $A$.
Vì $\widehat{A}=90^\circ$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi: $AB=AC$.
Hay tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.
Vậy: Nếu AB=AC thì AEDF là hình vuông.
b: Xét tứ giác BADC có
M là trung điểm của AC
M là trung điểm của BD
Do đó: BADC là hình bình hành
mà \(\widehat{ABC}=90^0\)
nên BADC là hình chữ nhật