A B C E F I M

a/ Xét tg vuông ABC có 

BM=CM (gt) => AM=BM=CM=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg ABM cân tại M => \(\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\) (góc ở đáy tg cân)

b/ Xét tg vuông AEF và tg vuông AFM có

\(\widehat{AEF}=\widehat{FAM}\) (cùng phụ với \(\widehat{AFE}\) ) (1)

Mà AM=CM (cmt) => tg MAC cân tại M => \(\widehat{FAM}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy th cân) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{AEF}\)

Xét tg MBE và tg MFC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\) (cmt)

\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\) (góc đối đỉnh)

=> tg MBE đồng dạng với tg MFC (g.g.g)

c/ Xét tg vuông ABC và tg vuông AFE có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\) (cmt)

=> tg ABC đông dạng với tg AFE

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)

d/

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM=MB=MC

=>góc MBA=góc MAB

b: góc AEF=90 độ-góc EAM=90 độ-góc B

=>gócAEF=góc ACB

c: Xét ΔAFE vuông tại A và ΔABC vuông tại A có

góc AEF=góc ACB

=>ΔAFE đồng dạng với ΔABC

=>AF/AB=AE/AC

=>AF*AC=AB*AE

a: BC=15cm

=>AM=7,5cm

b: Xét tứ giác AEMF có góc AEM=góc AFM=góc FAE=90 độ

nên AEMF là hình chữ nhật

a) do Cx //AB mà IE vg vs  AB(gt) nên IE vg vs CD (vì D thuộc Cx)

xét tg BME vầ tg CMI có: BEM=CIM=90 ; BM=CM(vì AM là đg trung tuyến) ; BME=CMI(đ.đ)

=>tg BME=tg CMI(ch-gn)=>ME=MI(2 cạnh t/ ư)=> M là t/đ của EI

b)do EI vg vs Dc(cmt) và I lf t/đ của DC(gt)=> EI là đg trung trực của DC,mà M thuộc EI nên MD=MC(ĐL)=.tg MCD cân tại M=>MDC=MCD(1)

mặt khác: EBM=ICM(vì tg BEM=tg CIM)(2)

từ (1), (2)=>EBM=MDC, mà EPM=MDC(vì CD//AB) nên EBM=EPM=>tg BMP cân tại M

c)xét tg BEID có:  BE=DI(cùng =CI) và BE//DI(vì AB//CD, E thuộc AB, I thuộc DC)

=>tg BEID là hbh=>EI//BD. mà DC vg vs EI(cmt) nên DC vg vs BD

a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMBI có

D là trung điểm chung của AB và MI

=>AMBI là hình bình hành

Hình bình hành AMBI có AB⊥MI

nên AMBI là hình thoi

c: Hình thoi AMBI trở thành hình vuông khi MA⊥MB

=>ΔMAB vuông cân tại M

=>\(\hat{MBA}=45^0\)

hay \(\hat{ABC}=45^0\)

d: Xét tứ giác APHQ có \(\hat{APH}=\hat{AQH}=\hat{PAQ}=90^0\)

nên APHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{AQP}=\hat{AHP}\)

mà \(\hat{AHP}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AQP}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{MAC}+\hat{AQP}=\hat{MCA}+\hat{MBA}=90^0\)

=>QP⊥AM

đổi k ko các bạn?