Bài 1:

A B C D M N P Q E F

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

a: Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{MEA}=\widehat{MFA}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật

a; ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//AC và \(DE=\frac{AC}{2}=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét hình thang ADEC có

DE//AC

AD⊥ AC

Do đó: ADEC là hình thang vuông

b: \(DE=\frac{AC}{2}\)

\(DE=\frac{EF}{2}\)

Do đó: AC=EF

Xét tứ giác ACEF có

CE//AF

CE=AF

Do đó: ACEF là hình bình hành

a: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\frac{BC}{2}\)

b: Xét tứ giác AEBF có

D là trung điểm chung của AB và EF

=>AEBF là hình bình hành

c: AEBF là hình bình hành

=>AE//BF và AE=BF

AE=BF

AE=AO

Do đó: AO=BF

AE//BF

=>AO//BF

Xét tứ giác ABFO có

AO//BF

AO=BF

Do đó: ABFO là hình bình hành

Hình bình hành ABFO có \(\hat{BAO}=90^0\)

nên ABFO là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ANME có

\(\widehat{ANM}=\widehat{AEM}=\widehat{EAN}=90^0\)

Do đó: ANME là hình chữ nhật

Suy ra: AM=NE