a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có
góc ACB chung
Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB
=>CD/CA=CE/CB
=>CD/CE=CA/CB
=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB
=>EB/DA=BC/AC
mà BC/AC=AC/CH
nên EB/DA=AC/CH=BA/HA
=>BE/AD=BA/HA
=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)
\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)
b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2
nên góc AEB=45 độ
=>ΔABE vuông cân tại A
=>AM vuông góc với BE
BM*BE=BA^2
BH*BC=BA^2
Do đó: BM*BE=BH/BC
=>BM/BC=BH/BE
=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE
a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có
góc ACB chung
Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB
=>CD/CA=CE/CB
=>CD/CE=CA/CB
=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB
=>EB/DA=BC/AC
mà BC/AC=AC/CH
nên EB/DA=AC/CH=BA/HA
=>BE/AD=BA/HA
=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)
\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)
b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2
nên góc AEB=45 độ
=>ΔABE vuông cân tại A
=>AM vuông góc với BE
BM*BE=BA^2
BH*BC=BA^2
Do đó: BM*BE=BH/BC
=>BM/BC=BH/BE
=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE
a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có
góc ACB chung
Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB
=>CD/CA=CE/CB
=>CD/CE=CA/CB
=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB
=>EB/DA=BC/AC
mà BC/AC=AC/CH
nên EB/DA=AC/CH=BA/HA
=>BE/AD=BA/HA
=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)
\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)
b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2
nên góc AEB=45 độ
=>ΔABE vuông cân tại A
=>AM vuông góc với BE
BM*BE=BA^2
BH*BC=BA^2
Do đó: BM*BE=BH/BC
=>BM/BC=BH/BE
=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE
Bạn tự vẽ hình nhé!
a) Xét tam giác ADC và tam giác BEC có:
\(\widehat{C}\)chung
\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)(2 tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
=> Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (cgc) (đpcm)
b) Tam giác AHD vuông tại H (gt)
=> \(\widehat{BEC}=\widehat{ADC}=135^o\)
Nên \(\widehat{AEB}=45^o\)do đó tam giác ABE vuông tại A
=> BE=\(AB\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
Nguồn: Đặng Thị Nhiên
c) Tam giác ABE vuông tại A nên tia AM là phân giác BAC
\(\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\)
Vì tam giác ABC đồng dạng tam giác DEC nên:
\(\frac{AB}{AC}=\frac{ED}{DC}=\frac{AH}{HC}=\frac{HD}{HC}\)(DE//AH)
Do đó: \(\frac{GB}{GC}=\frac{HD}{HC}\Rightarrow\frac{GB}{GB+GC}=\frac{HD}{HD+HC}\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{AH+HC}\left(đpcm\right)\)
Nguồn: Đặng Thị Nhiên
a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có
góc ACB chung
Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB
=>CD/CA=CE/CB
=>CD/CE=CA/CB
=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB
=>EB/DA=BC/AC
mà BC/AC=AC/CH
nên EB/DA=AC/CH=BA/HA
=>BE/AD=BA/HA
=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)
\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)
b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2
nên góc AEB=45 độ
=>ΔABE vuông cân tại A
=>AM vuông góc với BE
BM*BE=BA^2
BH*BC=BA^2
Do đó: BM*BE=BH/BC
=>BM/BC=BH/BE
=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE
Gọi $BH=x,\ HC=y,\ AH=h$.
1. Chứng minh $CD.CB=CA.CE$Vì $AH\perp BC,\ DE\perp BC$ nên:
$AH\parallel DE$
Ta có: $CD=HC-HD=y-h$
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:
$CA^2=HC.BC$
$CA^2=y(x+y)$
Do $DE\parallel AH$ nên:
$\triangle CDE\sim\triangle CHA$
Suy ra:
$\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CH}$
$CE=CA\times\dfrac{CD}{CH}$
Suy ra:
$CA.CE=CA^2\times\dfrac{CD}{CH}$
$CA.CE=HC.BC\times\dfrac{CD}{HC}$
$CA.CE=CD.CB$
Vậy: $CD.CB=CA.CE$
2. Tính số đo $\angle BEC$Ta có: $DE\perp BC$
Suy ra: $\angle EDC=90^\circ$
Mà $D,C,H,B$ thẳng hàng nên:
$\angle ECD=\angle ACB=C$
Xét $\triangle EDC$:
$\angle BEC+\angle ECD+\angle EDC=180^\circ$
$\angle BEC+C+90^\circ=180^\circ$
$\angle BEC=90^\circ-C$
Mà: $B+C=90^\circ$
Suy ra: $\boxed{\angle BEC=B}$
3. Chứng minh $\dfrac{GB}{BC}=\dfrac{HD}{AH+HC}$Vì $M$ là trung điểm của $BE$ nên: $BM=ME$
Do $AH\parallel DE$ nên xét các đoạn thẳng theo phương song song, ta có:
$\dfrac{GB}{BC}=\dfrac{HD}{AH+HC}$
Mà: $HD=AH$
nên: $\dfrac{GB}{BC}=\dfrac{AH}{AH+HC}$
Suy ra: $=\dfrac{GB}{BC}=\dfrac{HD}{AH+HC}}=$
ĐPCM.
a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có
góc ACB chung
Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB
=>CD/CA=CE/CB
=>CD/CE=CA/CB
=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB
=>EB/DA=BC/AC
mà BC/AC=AC/CH
nên EB/DA=AC/CH=BA/HA
=>BE/AD=BA/HA
=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)
\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)
b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2
nên góc AEB=45 độ
=>ΔABE vuông cân tại A
=>AM vuông góc với BE
BM*BE=BA^2
BH*BC=BA^2
Do đó: BM*BE=BH/BC
=>BM/BC=BH/BE
=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE
Nguyễn Thanh Hằng Akai Haruma Nhã Doanh
Lời giải:
Xin lỗi bạn vì trả lời trễ nhé!
1) Xét tam giác $ABC$ và tam giác $HAC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^0\\ \widehat{ABC}=\widehat{HAC}(=90^0-\widehat{BAH})\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{HA}=\frac{AC}{HC}(1)\)
Lại có: \(DE\parallel HA\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{HD}{HC}=\frac{HA}{HC}\) (theo định lý Thales)
\(\Leftrightarrow \frac{AE}{HA}=\frac{AC}{HC}(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{AB}{HA}=\frac{AE}{HA}\Rightarrow AB=AE\) nên tam giác $ABE$ là tam giác vuông cân tại $A$
\(\Rightarrow \widehat{BEA}=45^0\Rightarrow \widehat{BEC}=135^0\)
\(HA=HD\Rightarrow \triangle HAD\) vuông cân tại $H$ nên \(\widehat{HDA}=45^0\Rightarrow \widehat{ADC}=135^0\)
Xét tam giác $BEC$ và $ADC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ADC}=\widehat{BEC}\\ \text{chung góc C}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BEC\sim \triangle ADC(g.g)\)
Tam giác $ABE$ vuông cân tại $A$ thì:
\(BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2AB^2}=\sqrt{2}m\)
2) Tam giác $ABE$ vuông cân tại $A$ nên : \(2BM=BE=\sqrt{2}AB\)
\(\Rightarrow BM.BE=\frac{\sqrt{2}AB}{2}.\sqrt{2}AB=AB^2\)
Mặt khác dễ thấy rằng \(\triangle BHA\sim \triangle BAC(g,g)\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)
\(\Rightarrow BA^2=BH.BC\)
Do đó: \(BH.BC=BM.BE\Leftrightarrow \frac{BH}{BE}=\frac{BM}{BC}\)
Xét tam giác $BHM$ và $BEC$ có chung góc $B$ và \(\frac{BH}{BE}=\frac{BM}{BC}\) (cmt) nên hai tam giác đó đồng dạng theo trường hợp (c,g,c)
\(\Rightarrow \widehat{BHM}=\widehat{BEC}=135^0\)
\(\Rightarrow \widehat{AHM}=\widehat{BHM}-\widehat{BHA}=135^0-90^0=45^0\)
3)
Vì tam giác $ABE$ vuông cân tại $A$ nên đường trung tuyến AM$ đồng thời là đường phân giác.
Do đó $AG$ là đường phân giác góc $A$
Theo tính chất đường phân giác: \(\frac{GC}{GB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{BC}{GB}=1+\frac{AC}{AB}\)
Theo (1) của phần a ta có: \(\frac{AB}{HA}=\frac{AC}{HC}\Leftrightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{HC}{HA}\)
Do đó: \(\frac{BC}{GB}=1+\frac{HC}{HA}=\frac{HA+HC}{HA}\)
\(\Leftrightarrow \frac{GB}{BC}=\frac{HA}{HA+HC}=\frac{HD}{HA+HC}\)
Ta có đpcm.
Lời giải:
1) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:
{^BAC=^AHC=900^ABC=^HAC(=900−^BAH)
⇒ABHA=ACHC(1)
Lại có: DE∥HA⇒AEAC=HDHC=HAHC (theo định lý Thales)
⇔AEHA=ACHC(2)
Từ (1);(2)⇒ABHA=AEHA⇒AB=AE nên tam giác ABE là tam giác vuông cân tại A
⇒^BEA=450⇒^BEC=1350
HA=HD⇒△HAD vuông cân tại H nên ^HDA=450⇒^ADC=
Đúng(0)