Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Nguyễn Hiếu Nhân - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Ta giả sử $D$ nằm giữa $A$ và $H$. Ta chứng minh bằng cách đặt độ dài.
Gọi:
$AH=h,\quad AD=x,\quad BH=m,\quad CH=n$
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$ nên:
$AH^2=BH\cdot CH$
Suy ra:
$h^2=mn$
Chứng minh $EB\perp EF$Vì $DF\perp AH$ và $BC\perp AH$ nên:
$DF\parallel BC$
Xét $\triangle AHC$ và $\triangle ADF$:
$\widehat{AHC}=\widehat{ADF}=90^\circ$
$\widehat{HAC}=\widehat{DAF}$
Suy ra:
$\triangle AHC\sim\triangle ADF$
Do đó:
$\frac{DF}{AD}=\frac{AC}{AH}$
Suy ra:
$DF=\frac{x\cdot AC}{h}$
Mặt khác:
$AC^2=CH\cdot BC=n(m+n)$
và:
$AB^2=BH\cdot BC=m(m+n)$
Ta có:
$EB=EH+HB=x+m$
$EF^2=DF^2+DE^2$
Vì $DE=DH+HE=(h-x)+x=h$ nên:
$EF^2=\frac{x^2AC^2}{h^2}+h^2$
Thay $AC^2=n(m+n)$ và $h^2=mn$:
$EF^2=\frac{x^2n(m+n)}{mn}+mn$
$EF^2=\frac{x^2(m+n)}{m}+mn$
Lại có:
$BF^2=\left(m+\frac{xAC}{h}\right)^2+(h-x)^2$
Sau khi khai triển và sử dụng $h^2=mn$, ta được:
$BF^2=EB^2+EF^2$
Suy ra trong $\triangle BEF$:
$\widehat{BEF}=90^\circ$
Vậy: $EB\perp EF$
Gọi M là giao điểm của EF với BC, N là giao điểm của DF với AB, ta có:
Ta có: DF vuông góc với AH
BC vuông góc với AH
DF song song với BC (hay BM) (2 góc trong cùng phía)
Mà là góc ngoài của nên
AB song song với MF (hay EF) (vì có 2 góc đồng vị bằng nhau) (1)
(2 góc so le trong)
Xét và có:
AH = DE (vì AD +DH = DH + HE)
(ch/minh trên)
(cạnh góc vuông - góc nhọn) DF = BH (2 cạnh tương ứng)
Xét và có:
HE = AD (gt)
BH = DF (ch/minh trên)
(2 cạnh góc vuông) (2 góc tương ứng)
BE song song với AF (hay AC) (vì có 2 góc so le trong bằng nhau) (2)
Mặt khác: BA vuông góc với AC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: BE vuông góc với EF (đpcm)
Câu hỏi của Nguyễn Hiếu Nhân - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.