+)Xét tam giác ABC vuông tại A

 \( \implies\)\(AB^2+AC^2=BC^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )

\( \implies\) \(c^2+b^2=BC^2\)

\( \implies\) \(BC=\sqrt{b^2+c^2}\) 

+)Ta có : \(AD=\frac{1}{2}BC\) ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )

 \( \implies\) \(AD=\frac{1}{2}.\sqrt{b^2+c^2}\)

\( \implies\) \(AD=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\)

+)Xét tam giác BAE vuông tại A 

\( \implies\) \(BE^2=AB^2+AE^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )

\( \implies\) \(BE^2=c^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\)

\( \implies\) \(BE^2=c^2+\frac{b^2}{4}\)

\( \implies\) \(BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\)

+)Xét tam giác ABC có :

Hai đường trung tuyến AD ; BE cắt nhau tại G 

 \( \implies\) G là trọng tâm của tam giác ABC

\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}BE\)

Mà \(BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\) 

\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}.\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\)

\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}.\sqrt{\frac{4c^2+b^2}{4}}\)

\( \implies\)  \(BG=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{2}\)

\( \implies\) \(BG=\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\)

+) \(AD=\frac{1}{2}BC=BD=DC\) ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )

+)G là trọng tâm của tam giác ABC 

\( \implies\) \(GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\) 

+)Để AD vuông góc với BE thì tam giác BGD là tam giác vuông tại G

\( \implies\) \(BG^2+GD^2=BD^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )

 \( \implies\) \(\left(\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\right)^2\)

\( \implies\) \(\frac{4c^2+b^2}{9}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{b^2+c^2}{4}\)

\( \implies\)  \(\frac{4\left(4c^2+b^2\right)}{36}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{9\left(b^2+c^2\right)}{36}\)

\( \implies\) \(16c^2+4b^2+b^2+c^2=9b^2+9c^2\)

\( \implies\) \(17c^2+5b^2=9b^2+9c^2\)

\( \implies\) \(8c^2=4b^2\)

\( \implies\) \(2c^2=b^2\)

\( \implies\) \(b=\sqrt{2c^2}\)

\( \implies\) \(b=\sqrt{2}c\) 

Vậy để AD vuông góc với BE thì : \(b=\sqrt{2}c\) 

A B C c b D E G