a: sin C=0,6

=>\(\hat{C}\) ≃37 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}=90^0-37^0=53^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}\)

=>\(\frac{AB}{20}=0,6\)

=>\(AB=20\cdot0,6=12\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=20^2-12^2=400-144=256=16^2\)

=>AC=16(cm)

b: Xét ΔCFE vuông tại F và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{FCE}\) chung

Do đó: ΔCFE~ΔCAB

=>\(\frac{CF}{CA}=\frac{CE}{CB}\)

=>\(CF\cdot CB=CE\cdot CA=\frac12\cdot CA\cdot CA=\frac12CA^2\)

=>\(CA^2=2\cdot CF\cdot CB\)

b: Xét ΔCFE vuông tại F và ΔCAB vuông tại A có 

\(\widehat{C}\)chung

Do đó: ΔCFE\(\sim\)ΔCAB

Suy ra: \(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\)

\(\Leftrightarrow CF\cdot CB=CE\cdot CA\)

\(\Leftrightarrow CF\cdot CB=CA\cdot\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Leftrightarrow AC^2=2\cdot CF\cdot CB\)

a) Xét \(\Delta CAH:\) ta có: E là trung điểm AC và \(EF\parallel AH(\bot BC)\)

\(\Rightarrow F\) là trung điểm CH \(\Rightarrow EF\) là đường trung bình \(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AH\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

Ta có: \(EF^2=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2=\dfrac{1}{4}.BH.HC\)

b) Ta có: \(\angle BAE+\angle BFE=90+90=180\Rightarrow ABFE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle FBE=\angle FAE\)

Xét \(\Delta CBE\) và \(\Delta CAF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CBE=\angle CAF\\\angle BCAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CBE\sim\Delta CAF\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{BE}=\dfrac{AC}{BC}=cosC\Rightarrow AF=cosC.BE\)