a: Xét ΔEAC vuông tại A và ΔEDB vuông tại D có

góc E chung

=>ΔEAC đồng dạng với ΔEDB

b: ΔEAC đồng dạng với ΔEDB

=>EA/ED=EC/EB

=>EA/EC=ED/EB

=>ΔEAD đồng dạng với ΔECB

=>S EAD/S ECB=(EA/EC)^2=1/4

=>S EBC=200cm²

a; Sửa đề: Tính diện tích tam giác EBC

Xét ΔEDB vuông tại D và ΔEAC vuông tại A có

\(\hat{DEB}\) chung

Do đó: ΔEDB~ΔEAC

=>\(\frac{ED}{EA}=\frac{EB}{EC}\)

=>\(\frac{ED}{EB}=\frac{EA}{EC}\)

Xét tứ giác AMDE có \(\hat{AMD}+\hat{MAE}+\hat{MDE}+\hat{AED}=360^0\)

=>\(\hat{AMD}+\hat{AED}=360^0-90^0-90^0=180^0\)

mà \(\hat{AMD}=\hat{BMC}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{AED}+120^0=180^0\)

=>\(\hat{AED}=60^0\)

Xét ΔBDE vuông tại D có cos E=\(\frac{ED}{EB}\)

=>\(\frac{ED}{EB}=cos60=\frac12\)

Xét ΔEDA và ΔEBC có

\(\frac{ED}{EB}=\frac{EA}{EC}\)

góc DEA chung

Do đó: ΔEDA~ΔEBC

=>\(\frac{S_{EDA}}{S_{EBC}}=\left(\frac{ED}{EB}\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{EBC}=4\cdot S_{EDA}=4\cdot36=144\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Gọi I là giao điểm của EM và BC

Xét ΔBEC có

BD,CA là các đường cao

BD cắt CA tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔBEC

=>EM⊥ BC tại I

Xét ΔBIM vuông tại I và ΔBDC vuông tại D có

\(\hat{IBM}\) chung

Do đó: ΔBIM~ΔBDC
=>\(\frac{BI}{BD}=\frac{BM}{BC}\)

=>\(BM\cdot BD=BI\cdot BC\)

Xét ΔCIM vuông tại I và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{ICM}\) chung

Do đó: ΔCIM~ΔCAB

=>\(\frac{CI}{CA}=\frac{CM}{CB}\)

=>\(CM\cdot CA=CI\cdot CB\)

\(BM\cdot BD+CM\cdot CA\)

\(=BI\cdot BC+CI\cdot BC=BC^2\) không đổi

a) -△DBE và △ACE có: \(\widehat{BDE}=\widehat{CAE};\widehat{BEC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△DBE∼△ACE (g-g).

b) △DBE∼△ACE \(\Rightarrow\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{ED}{EA}\Rightarrow\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{EC}{EA}\)

-△EAD và △ECB có: \(\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{EC}{EA};\widehat{BEC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△EAD∼△ECB (c-g-c) nên \(\widehat{EAD}=\widehat{ECB}\)

c) EM cắt BC tại F.

-△BCE có: 2 đường cao BD và CA cắt nhau tại M.

\(\Rightarrow\)M là trực tâm của △BCE.

\(\Rightarrow\)EM⊥BC tại F.

-△BMF và △BCD có: \(\widehat{DBC}\) là góc chung, \(\widehat{BFM}=\widehat{BDC}=90^0\).

\(\Rightarrow\)△BMF∼△BCD (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BF}{BD}\Rightarrow BM.BD=BC.BF\left(1\right)\)

-△CMF và △CBA có: \(\widehat{CFM}=\widehat{CAB}=90^0,\widehat{CBA}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△CMF∼△CBA (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CF}{CA}\Rightarrow CM.CA=CB.CF\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra:

\(BM.BD+CM.CA=BC.BF+CB.CF=BC\left(BF+CF\right)=BC.BC=BC^2\)

không đổi.