Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$
Xét hai tam giác $AEB$ và $AFC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.
Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.
b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$
Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.
Do đó $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh ba điểm $M, K, N$ thẳng hàng
Gọi $D = AH \cap BC$,
- $DM \perp AB$ tại $M$,
- $DN \perp AC$ tại $N$,
- $DK \perp CF$ tại $K$.
Theo định lý ba đường vuông góc từ một điểm đến ba cạnh (hoặc theo tính chất trực tâm), ba điểm $M$, $K$, $N$ thẳng hàng.
a: Ta có: MC⊥CA
BA⊥CA
Do đó: MC//BA
Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHMC vuông tại H có
\(\hat{HAB}=\hat{HMC}\) (hai góc so le trong, AB//MC)
DO đó: ΔHAB~ΔHMC
b: Xét ΔHCA vuông tại H và ΔHMC vuông tại H có
\(\hat{HCA}=\hat{HMC}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)
Do đó: ΔHCA~ΔHMC
=>\(\frac{HC}{HM}=\frac{HA}{HC}\)
=>\(HC^2=HM\cdot HA\)
c: ΔAHC vuông tại H
=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)
=>\(AC^2=2^2+3^2=4+9=13\)
=>\(AC=\sqrt{13}\) (cm)
Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có
góc HCA chung
Do đó: ΔCHA~ΔCAB
=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}\)
=>\(CH\cdot CB=CA^2\)
=>3CB=13
=>\(CB=\frac{13}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AB^2=\left(\frac{13}{3}\right)^2-13=\frac{169}{9}-13=\frac{169}{9}-\frac{117}{9}=\frac{52}{9}\)
=>\(AB=\frac{2\sqrt{13}}{3}\) (cm)
Xét ΔAHC vuông tại H và ΔACM vuông tại C có
góc HAC chung
Do đó: ΔAHC~ΔACM
=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AM}\)
=>\(AH\cdot AM=AC^2\)
=>\(2\cdot AM=13\)
=>AM=6,5(cm)
ΔMCA vuông tại C
=>\(CA^2+CM^2=AM^2\)
=>\(CM^2=AM^2-CA^2=6,5^2-13=\left(\frac{13}{2}\right)^2-13=\frac{169}{4}-13=\frac{169}{4}-\frac{52}{4}=\frac{117}{4}\)
=>\(CM=\sqrt{\frac{117}{4}}=\frac{3\sqrt{13}}{2}\) (cm)
\(S_{ABCM}=\frac12\cdot\left(AB+MC\right)\cdot AC\)
\(=\frac12\cdot\sqrt{13}\left(\frac{2\sqrt{13}}{3}+\frac{3\sqrt{13}}{2}\right)=\frac12\cdot\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}\left(\frac23+\frac32\right)=\frac12\cdot13\cdot\frac{13}{6}=\frac{169}{12}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)