Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng

=>\(AG=\frac23AM=\frac23\cdot\frac12\cdot BC=\frac13BC\)

Kẻ AH⊥EF tại H

=>AH<=AG=1/3BC

Xét ΔAEF vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AH^2}\ge\frac{1}{\left(\frac13BC\right)^2}=1:\frac{BC^2}{9}=\frac{9}{BC^2}\) (ĐPCM)

Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB; các đường thẳng d1,d2 đi qua G và song song với AB,AC và cắt AC,AB tại L,H. Khi đó ta có: GL//AB=>AB/GL=BJ/GJ=3; GL//AM=>GL/AM=NG/MN. Nhân hai đẳng thức theo vế thì được AB/AM=3NG/MN (*). Một cách tương tự ta cũng chứng minh được AC/AN=3MG/MN (*). Cộng (*) và (**) theo vế thì được AB/AM+AC/AN=3(NG+MG)/MN=3.

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

1: Xét (O) có

ΔAMH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAMH vuông tại M

=>HM⊥AB tại M

Xét (O) có

ΔANH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔANH vuông tại N

=>HN⊥AC tại N

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{NAM}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

2: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\hat{ANM}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên OA=OC

=>ΔOAC cân tại O

=>\(\hat{OAC}=\hat{OCA}=\hat{ACB}\)

\(\hat{OAC}+\hat{ANM}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AO⊥MN